Logical aspects of slender groups

• Auteur / Autrice : Eoin Coleman
• Direction : Pierre Matet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Caen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modules (algèbre)

Stabilité

Algèbre homologique

Anneaux d'endomorphismes

Ensembles, Théorie combinatoire des

Théorie des modèles

Mathématiques -- Fondements

Classification

Résumé

Ce travail, étalé sur six chapitres, présente des résultats méta-mathématiques concernant la minceur dans le cadre de la théorie de la classification non élémentaire. Dans les premiers ;chapitres, l'on montre que les classes des groupes abéliens minces et sans cotorsion sont axiomatizables dans les logiques infinitaires L∞ w1 et L∞ w , que le groupe Baer-Specker Z''exposant''w n'est pas L∞ w1(t)-équivalent à un groupe mince, que les groupes sans cotorsion constituent une classe élémentaire abstraite (AEC), et que le groupe Z''exposant''w n'est pas jamais filtrable par la famille des groupes sans cotorsion. Des résultats de non-structure sont présentés dans le quatrième chapitre : l'on y montre qu'il existe des groupes minces non-isomorphes de puissance À1 qui sont L∞ w1-équivalents, et qu'il existe une famille G = {Ga : a < 2À1} de sous-groupes purs et non dénombrables du groupe Baer-Specker ℤ''exposant''w qui sont fortement non isomorphes et presque disjoints (dans le sens que si a < β, et A est isomorphe à des sous-groupes de Ga et Gβ, alors A est libre). Les chapitres 5 et 6 traitent des groupes autominces et fort minces, ainsi que des groupes co-petits : l'on prouve qu'il existe des groupes auto-minces qui ne sont pas minces, et que s'il y a des grands cardinaux, il n'existe ni groupes fort minces, ni groupes co-petits

The results presented in the six chapters of this work concern slenderness from the perspective of non-elementary classification theory. In the early chapters, it is shown:(1) the classes of slender and cotorsion-free abelian groups are axiomatizable in the infinitary logics L∞ w1 and L∞ w ; (2) the Baer-Specker group ℤ''exposant''w is not L∞ w1(t)-equivalent to a slender group; (3) the cotorsion-free groups constitute an abstract elementary class (AEC); (4) the group ℤ''exposant''w is never filtrable by cotorsion-free groups. Non-structure results are presented in the fourth chapter: it is proved that there exist many non-isomorphic slender groups of cardinality À1 which are L∞ w1-equivalent, and that there exists a large family F of uncountable pure subgroups of the Baer-Specker group that are strongly nonisomorphic and almost disjoint in the sense that for any pair A, B € F, if G is embedded in A and in B, then G is free. The fifth and sixth chapters treat self-slenderness, strong slenderness and co-smallness. A strong black box argument is used to demonstrate the existence of non-slender self-slender groups in arbitrarily large cardinalities; large cardinal axioms are applied to resolve existence questions concerning cosmall groups