Multiplicateurs spectraux, homomorphismes R-bornés et semigroupes de diffusion analytiques

Spectral multipliers, R-bounded homomorphisms, and analytic diffusion semigroups

• Auteur / Autrice : Christoph Kriegler
• Direction : Christian Le Merdy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Besançon
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Franche-Comté. UFR des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Multiplicateurs (analyse mathématique)

Analyse fonctionnelle

Résumé

Ce travail traite du calcul fonctionnel des opérateurs dont le spectre est contenu dans les nom- bres réels positifs. On s'intéresse en particulier aux théorèmes de multiplicateurs spectraux. On aborde le calcul abstrait et optimal, c'est-à-dire les homomorphismes u : C(K) -+ B(X). Si X est un espace de Hilbert, alors l'extension naturelle û : C(K; lu]') -+ B(X) de u sur l'ensemble des opérateurs est à nouveau bornée. En utilisant la R-bornitude, un renforcement de la bornitude uniforme, on donne une extension de ce résultat à des espaces de Banach généraux X et on l'applique au calcul H infini et aux bases inconditionnelles dans des espaces LP. On développe des calculs associés à des opérateurs sectoriels. Les exemples classiques en sont les théorèmes spectraux de Mihlin et Hôrmander donnant des classes de fonctions lisses qui forment des multiplicateurs de Fourier sur LP. Ces ~éorèmes ont déjà été étendus à une large classe d'opérateurs de type Laplacien. On les regroupe sous une forme unifiée grâce à la théorie des opérateurs: on compare le calcul de Mihlin et de Hôrmander à la bornitude des familles classiques associées à un opérateur sectoriels. Pour la famille des puissances imaginaires, on donne une caractérisation de leur croissance polynomiale en fonction d'un calcul fonctionnel qui raffine le calcul de Mihlin. On étudie des semi-groupes de diffusion qui agissent sur une échelle d'espaces de Banach. Il est connu que le semi-groupe a une extension analytique sur un secteur dans le plan com- plexe si cette échelle consiste des espaces LP. On donne une généralisation de ce résultat à des espaces LP non commutatifs en utilisant la théorie des espaces d'opérateurs.

The thesis is concerned with the smooth functional calculus for operators with spectrum in the positive reals, more specifically spectral multiplier theorems. We start with abstract and optimal functional calculi, that is, homomorphisms u : C(K) -+ B(X). If X is a Hilbert space, then the natural operator valued extension C(K; lu]') -+ B(X) is again bounded. Using R-boundedness, a strengthening of uniform boundedness of operators, we extend this result to general Banach spaces X and apply it to the H infinity calculus and to unconditional bases in LP spaces. We develop calculi which are associated with sectorial operators. The classical examples are the spectral theorems of Mih1in and Hôrmander giving classes of smooth functions which are Fourier multipliers on LV. These theorems have alrèâdy been extended to a large class of Laplace type operators. We add a unifying theme using operator theory: we compare the Mihlin and Hôrmander calculus with the boundedness of classical operator families associated with the sectorial operator. For the family of imaginary powers, we give a characterization of their polynomial norm growth in terms of a functional calculus which refines the Mihlin calculus. We study diffusion semigroups acting on a scale of Banach spaces. If this scale is the classical LP spaces, it is known iliat the semigroup has an analytic extension on a sector in the complex plane. We give a generalization of this result to non-commutative LP-spaces using the theory of operator spaces.