Étude de convergences de séries aléatoires échantillonnées, mesures de Markov quasi-Bernoulli ou quasi-Bernoulli faible et temps de retour uniforme dans les systèmes exponentiellement mélangeants

Convergence of random series, quasi-Bernoulli or weak quasi-Bernoulli Markov measure and uniform return time in exponentially mixing dynamical systems

• Auteur / Autrice : Thomas Langlet
• Direction : Ai-Hua Fan, Dominique Schneider
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques. Probabilité et théorie ergodique
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Amiens

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques

Mesure, Théorie de la

Convergence (mathématiques)

Variables aléatoires

Suites (mathématiques)

Résumé

Dans la première partie de cette thèse, on s'intéresse à la convergence de certaines séries aléatoires. On détermine des conditions suffisantes sur la suite (ak)k et sur les variables aléatoires indépendantes (Xk)k, afin que pour presque tout ω ϵ Ω, on ait la convergence uniforme ou pour presque tout x de la série Σk ak f(x(X1+. . . +Xk)(ω)) pour une certaine classe de fonctions f. On trouve, aussi, des conditions suffisantes sur la suite (ak)k et sur les variables aléatoires indépendantes (Xk)k, afin que pour presque tout ω ϵ Ω, on ait la convergence dans L²(μ) ou μ-presque partout de la série Σk ak T^{(X1+. . . +Xk)(ω)}(g)(x) pour certaines classes de fonctions g ϵ L²(μ) et de flot {Tt,t ϵ G} d'opérateurs de L²(μ) dans L²(μ) (où G est un semi-groupe de l'ensemble des réels). La deuxième partie porte sur des propriétés de mesures : quasi-Bernoulli et quasi-Bernoulli faible. On trouve notamment des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une mesure de Markov inhomogène soit quasi-Bernoulli ou quasi-Bernoulli faible. On caractérise à l'aide de ces conditions les mesures de Bernoulli qui sont quasi-Bernoulli ou quasi-Bernoulli faible. On prouve que si une mesure de Bernoulli n'ayant que des probabilités non nulles est quasi-Bernoulli faible alors elle est quasi-Bernoulli. La dernière partie est consacrée à l'étude du problème du temps de retour uniforme dans les systèmes exponentiellement mélangeant. Il s'agit d'avoir un recouvrement aléatoire de l'espace engendré par un processus exponentiellement mélangeant. Etant donné un recouvrement aléatoire, on obtient une estimation du nombre de recouvrements en fonction de la dimension maximale locale de la mesure.

In the first part of this thesis, we study the convergence of two different random series. We give some sufficient conditions on the sequence (ak)k, on the random independent variables (Xk)k, such that for almost every ω, to have the uniform convergence or almost everywhere convergence of Σk ak f(x(X1+. . . +Xk)(ω)) for a certain class of functions f. We also find some sufficient conditions on (ak)k and on the random independent variables (Xk)k to have a certain class of function g ϵ L²(μ) and a certain class of operator {Tt,t ϵ G} such that the series Σk ak T^{(X1+. . . +Xk)(ω)}(g)(x) converge in L²(μ) or for μ-almost every x. In the second part, we prove some necessary and sufficient condition for an inhomogeneous Markov measure to be a quasi-Bernoulli measure or a weak quasi-Bernoulli measure. We apply this condition on the Bernoulli measure. We proved that a Bernoulli measure which only has some non-negative probability is a weak quasi-Bernoulli measure, then it is a quasi-Bernoulli measure. The last part is devoted to the study of a uniform hitting problem in an exponentially mixing dynamical system. This is a random covering problem driven by an exponentially mixing stationary process. For such a covering, among others, we obtain a satisfactory estimation on the covering numbers.