Stability of some evolution problems

• Auteur / Autrice : Julie Valein
• Direction : Serge Nicaise
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Valenciennes

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'évolution

Commande, Théorie de la

Résumé

Dans cette thèse nous étudions la stabilisation de quelques équations d'évolution par rétro-action (feedback). Tout d'abord, nous considérons la stabilisation de l'équation des ondes sur des réseaux 1-d par des feedbacks situés aux nœuds. Dans le premier chapitre, en supposant que le poids du feedback avec retard est plus petit que celui sans retard, nous donnons des conditions spectrales pour obtenir la stabilité forte, exponentielle ou polynomiale en nous ramenant à l'étude d'une inégalité d'observabilité pour le problème conservatif. Dans le second chapitre, nous transférons des inégalités d'observabilité à poids déjà existantes pour un autre problème conservatif en inégalités d'observabilité faibles pour le système dissipé sans retard. Grâce à une inégalité d'interpolation, nous obtenons des taux de décroissance explicites qui dépendent des propriétés géométriques et topologiques du réseau. Nous développons ensuite, dans le chapitre 3, une théorie abstraite pour les équations d'évolution du second ordre avec retard généralisant les résultats du chapitre 1. Nous étudions le cas où le retard dépend du temps pour les équations des ondes et de la chaleur dans le chapitre 4. En émettant certaines hypothèses sur ce retard et en utilisant une fonctionnelle de Lyapunov appropriée, nous prouvons que l'énergie est exponentiellement décroissante et nous donnons explicitement son taux de décroissance. Enfin, nous montrons dans le chapitre 5, qu'une technique de filtrage permet d'obtenir une décroissance quasi-exponentielle de l'équation des ondes discrétisée en espace par différences finies avec un amortissement interne.

In this PhD thesis we study the stabilization of some evolution equations by feedback laws. First we consider the stabilization of the wave equation on 1-d networks with nodal feedbacks. In chapter 1, assuming that the weight of the feedback without delay is smaller than the one with delay, we give spectral conditions to obtain the strong, exponential or polynomial stability, by studying an observability inequality for the conservative system. In chapter 2 we transfer known observability results for another conservative system into a weighted observability estimate for the dissipative one without delay. Thanks to an interpolation inequality, we obtain explicit decay rates which depend on the geometric and topological properties of the network. Then we develop, in chapter 3, an abstract theory for second order evolution equation with delay, which generalizes the results of chapter 1. We study the case where the delay depends on time for the heat and wave equations in chapter 4. Using some assumptions about the delay and an appropriate Lyapunov functional, we prove that the energy is exponentially decreasing and we give explicitely its decay rate. Finally, we show, in chapter 4, that a filtering technique allows to obtain a quasi-exponential decay of a finite difference space discretization of the wave equation by pointwise interior stabilization.