Etudes des singularités O2 et O2iw en présence de deux symétries de réversibilités et dynamique de l'équation de Swift-Hohenberg avec conditions au bord Dirichlet Neuman

Studies on O2 or O^2iw singularity in the presence of two reversibility symmetries and dynamics of the S-H equation with D-N boundary conditions

• Auteur / Autrice : Lingjun Wang
• Direction : Eric Lombardi, Hua Chen
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Bifurcation, Théorie de la

Systèmes dynamiques hybrides

Équations aux dérivées partielles

Singularités (mathématiques)

Systèmes non linéaires

Mots clés libres

Théorie des bifurcations

Formes normales

Systèmes réversibles

Résonance

Orbites homoclines

Variété centrale

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique des équations d'évolution en dimension finie comme infinie. Dans la première partie, on étudie la dynamique de champs de vecteurs réversibles présentant des résonances en présence de deux symétries de réversibilité. En présence d'une unique symétrie de réversibilité, l'existence d'orbites homoclines à 0 est connue pour la résonnance O2 alors que pour la résonnance O2iw , il n'y en a génériquement pas alors qu'il y a toujours des orbites homoclines à des solutions périodiques exponentiellement petites. En présence d'une deuxième symétrie de réversibilité la situation est plus dégénérée. La dynamique est dans ce cas gouvernée par la partie cubique. Pour la résonance O2 nous prouvons l'existence d'orbites homoclines à 0 et d'orbites hétéroclines. Pour la résonance O2iw nous prouvons que dans la plupart des cas la deuxième symétrie induit l'existence d'orbites homoclines à 0 alors qu'avec une unique symétrie il n'y en a génériquement pas. Dans la seconde, nous comparons la dynamique de l'équation de Swift Hohenberg posée sur un domaine cylindrique IxR avec I=[-L,L] et conditions au bord de Dirichlet Neumann d'une part et I=[0,2pi] et conditions périodiques aux bords. Nous montrons que dans les deux cas la dynamique de l'équation de Swift Hohenberg est réductible à une variété centrale de dimension 2. Dans le cas ''Dirichlet Neumann'' cette réduction est valable pour L grand. Sur cette variété centrale on trouve deux solutions stationnaires et deux orbites hétéroclines connectant l'origine à ces solutions. On retrouve ainsi les principales caractéristiques de la dynamique avec conditions aux bord périodique.

This thesis is devoted to the study of the dynamics of evolution equations in finite (ODE) or infinite (PDE) dimensions. In the first part, we study the dynamics of reversible vector fields close to an equilibrium when a o2 or o2iw resonance occurs in the presence of two symmetries of reversibility. In the presence of a unique reversibility symmetry the existence of homoclinic connection to 0 is known for the O2 resonance whereas for the O2iw resonance there is generically no homoclinic connection to 0 but there is always homoclinic connection to exponentially small periodic orbit. . For the O2 resonance we prove the existence of homoclinic connections to 0 and of heteroclinic orbits. For the O2iw resonance we prove that in most of the cases the second symmetry induces the existence of homoclinic connections to 0 and of heteroclinic orbits whereas with a unique symmetry there is generically no homoclinic connection to 0. In the second part, we compare the dynamics of the two dimensional Swift-Hohenberg equation defined in a cylindrical domain [-L,L]x R with Dirichlet Neumann boundary conditions with the dynamics of the Swift-Hohenberg equation defined on R^2 and admitting spatially periodic solutions. We show that the system with Dirichlet Neumann boundary conditions reduces onto a two-dimensional center manifold when $$\ell$$ is sufficiently large. On this invariant manifold, we find two steady solutions and two heteroclinic connections connecting the trivial ground state with the steady solutions. Moreover, all the above solutions preserve the features of the spatially periodic solutions.