Modélisations des équations 1D de Barré de Saint Venant par la méthode des éléments finis de type discontinus de Galerkin à discrétion temporelle de Runge-Kutta

A 1D approach for the modelling of the Saint Venant equations with the finite element discontinuous Galerkin approximations together with Runge-Kutta time integrations

• Auteur / Autrice : Georges Kesserwani
• Direction : Abdellah Ghenaim
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique des fluides
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Runge-Kutta, Méthode de

Tuyauterie

Hydraulique

Modèles mathématiques

Éléments finis, Méthode des

Galerkine, Méthodes de

Régime transitoire (hydraulique)

Écoulement unidimensionnel

Résumé

Un modèle numérique pour la simulation de l'écoulement transitoire unidimensionnel à surface libre dans les conduites et les réseaux hydrauliques est conçu, discuté et appliqué. En guise d'arrière-plan, une discussion détaillée sur le modèle mathématique et les propriétés physiques des équations est présenté. Une discussion sur les points singuliers des équations D de Saint Venant est notamment effectuée soulignant la nécessité d'un traitement spécifique des conditions aux limites internes. Une étude bibliographique sur les schémas numériques de type Godounov, recommandés très souvent pour l'approximation numérique des systèmes vectoriels associés aux lois de conservation hyperboliques est présentée. La méthode des éléments finis de type Runge-Kutta Discontinus de Galerkin (RKDG) est très lcoale et exige un traitement simple des conditions aux limites et des termes sources pour obtenir un ordre élevé de précision. L'intégration en temps explicite, ainsi que l'utilisation de fonctions orthogonales, rendent la méthode de calcul aussi efficace que les méthodes de type volumes finis qui sont bien adaptées pour les régimes transitoires et transcritiques. Pour les parties différentiables de la solution numérique, l'approximation est du deuxième-, troisième-, et quatrième-ordre de précision pour des approximations spatiales linéaires, quadratiques et cubiques, respectivement. En outre, les chocs sont généralement capturés en utilisant seulement deux éléments voisins. Un banc d'essai numérique est effectué montrant l'intérêt du schéma développé. Le modèle numérique RKDG2 du second-ordre est considéré, comparé favorablement par rapport à un schéma volume fini mis en oeuvre avec les mêmes propriétés, amélioré avec un traitement spécial des termes sources, et appliqué avec succès pour la prédiction des écoulements torrentiels à travers une confluence simple de canaux où un couplage avec un modèle non linéaire de jonction est utilisé dans le traitement des conditions aux limites internes. Une nouvelle technique de simulation de l'écoulement fluvial au sein d'une confluence est également étudiée, se concentrant principalement sur la fiabilité du concept de l'approximation des égalités des hauteurs d'eau à la jonction ; approche largement utilisée dans le traitement des conditions limites internes dans la majorité des logiciels commerciaux. Nous terminons ce mémoire en proposant une nouvelle méthodologie pour la prédiction de la séparation de l'écoulement à travers une diffluence simple de canaux formant un angle de 90°. L'approche proposée est évaluée avec succès par une confrontation à des résultats expérimentaux. Son principal avantage est que le caractère 2D de la division de l'écoulement transitoire est pris en compte dans la forme 1D conservative du système de Saint Venant.

A numerical model for the 1D simulation of transient water flow in conduits and channels network is derived, discussed and applied. As a background, a detailed discussion of the mathematical ans physical properties of the governing equations is given. A discussion on singular points for the 1D Saint Venant equations is performed highlighting the necessity of internal boundary conditions treatments. The historical developmentof existing Godunov-type numerical schemes, widely recommended for solving hyperbolic conservation laws, is reviewed and discussed. The Runge-Kutta Discountinuous Galerkin (RKDG) finite elementmethod is very local and requires as simple treatment of boundary conditions and source terms to obtain high-order accuracy. The explicit time integration, together with the use of orthogonal shape functions, makes the method computationally as efficient as well-suited finite volume schemes for transcient and transcritical flows. For smooth parts of the solution, the scheme is shown to be second-, third- and fourth-order accurate for linear, quadric and cubic shape functions, respectively. Furthermore, shocks are usually captured within only two neighboring elements. Numerical results of several 1D flow problems show the interest of the developed method. The second-order RKDG scheme is considered, compared favorably with the performance of a finite volume scheme implemented with the same features, improved with a special treatment of source terms and applied successfully for the water flow computation of supercritical flow through a simple confluence system with involvement of nonlinear internal boundary conditions handling. A thorough technique for subcritical flow simulation through a confluence is also investigated, focusing mainly on the reliability of the concept of the stages equality approximation at the junction, which is widely used with the internal boundary conditions treatment of many commercial packages. A new numerical model for the prediction of the flow dicision at a 90° open-channel diffluenceis proposed and successfully compared with conducted experimental data. Its main advantage is that the 2D flow division is taken into account within the 1D conservative form of the Saint Venant system and the approach is capable for handling the transient behaviors of the flow at the separation.