Analysis of time-discretization methods for the Schrödinger equation

• Auteur / Autrice : Guillaume Dujardin
• Direction : François Castella, Erwan Faou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Rennes 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Schrödinger, Équation de

Systèmes hamiltoniens

Équations d'évolution non linéaires -- Solutions numériques

Sols

Équations aux dérivées partielles -- Solutions numériques

Cauchy, Problème de -- Solutions numériques

Résumé

This thesis provides a numerical analysis of numerical methods for partial differential equations of Schrödinger type on the d-dimensional torus, namely the linear Schrödinger equation with potential, the inhomogeneous linear Schrödinger equation and the non linear Schrödinger equation. The first part of this thesis deals with symplectic time-splitting methods for the linear Schrödinger equation with potential. Under a non resonance condition, we prove a normal form theorem for the numerical propagator. This theorem allows us to derive properties of preservation of the regularity of the numerical solution for non resonant time steps. The second part of this thesis presents a numerical analysis of exponential Runge-Kutta methods for the inhomogeneous linear Schrödinger equation and for the non linear Schrödinger equation. Over a finite time interval, we give sufficient order conditions for (dollar)s(dollar)-stage collocation methods to be of order s, s+1 and s+2 when applied to any of these two problems. Moreover, we illustrate and explain the effect of the numerical resonances that may occur when solving inhomogeneous linear problems with such methods.

Cette thèse consiste en l'analyse numérique de méthodes de résolution d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger : sur le tore de dimension d, on s'intéresse à la résolution numérique de l'équation de Schrödinger linaire avec potentiel multiplicatif, de l'équation de Schrödinger linéaire inhomogène et de l'équation de Schrödinger non linéaire. Dans une première partie, on étudie des méthodes de splitting en temps, symplectiques, pour l'équation de Schrödinger linéaire avec potentiel multiplicatif. Dans l'asymptotique des petits potentiels, on démontre par une méthode perturbative un théorème de forme normale pour le propagateur de ces méthodes. Ce théorème permet ensuite de démontrer des propriétés de conservation en temps long de la régularité de la solution numérique pour des pas de temps non résonnants. La seconde partie est consacrée à l'analyse numérique de méthodes de Runge-Kutta exponentielles pour l'équation de Schrödinger linéaire inhomogène et pour l'équation de Schrödinger non linéaire. Dans une perspective d'ordre élevé et en temps fini, on donne des conditions suffisantes pour que les méthodes de collocation à s points soient d'ordre s, s+1 et s+2 pour les deux types de problèmes envisagés. On illustre, quantifie et explique en outre l'effet des résonnances numériques qui apparaissent lors de la résolution des problèmes linéaires inhomogènes par de telles méthodes.