Quelques notions d'irrégularité uniforme et ponctuelle : le point de vue ondelettes

Different concepts of uniform and pointwise irregularity : the wavelet point of view

• Auteur / Autrice : Marianne Clausel
• Direction : Stéphane Jaffard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/11/2008
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie, Matériaux, Modélisation et Environnement (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 1994-2009)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LAMA
• Jury : Président / Présidente : Yves Meyer
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stéphane Jaffard, Yves Meyer, Yanick Heurteaux, Jacques Istas, Patrice Abry, Anne Estrade
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yanick Heurteaux, Jacques Istas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Champs aléatoires

Multifractales

Mouvement brownien

Ondelettes

Mots clés libres

Irrégularité uniforme

Fonctions anti-höldériennes

Ondelettes

Mouvements browniens franctionnaire lacunaire

Analyse multifractale faible

Champs aléatoires gaussiens anisotropes

Autosimilarité matricielle

Autosimilarité par rapport à un groupe

Uniform irregularity

Anti-Hölderian functions

Wavelets

Lacunary fractional Brownian motion

Weak multifractal analysis

Anisotropic Gaussian random fields

Operator scaling random fields

Group self-similarity

Résumé

Le but de cette thèse est de définir puis d'étudier différentes notions d'irrégularité uniforme ou ponctuelle permettant de traduire le fait qu'une fonction peut avoir des 'grands accroissements' à toutes les échelles. Pour cela on 'inverse' les notions de régularité Höldérienne usuelles. L'objectif principal du travail est ensuite de relier ces différentes notions à la théorie des ondelettes. Les critères ondelettes établis vont ainsi permettre de définir des fonctions ou des champs aléatoires dont le comportement est différent suivant la gamme d'échelles considérée. Par ailleurs, si on se place du point de vue ponctuel, une question naturelle est celle de la définition d'une analyse multifractale -dite faible- liée à la notion d'irrégularité ponctuelle. Les ondelettes vont alors permettre de définir des séries d'ondelettes multifractales pour l'irrégularité ponctuelle. Enfin, nous étudions des exemples de champs aléatoires où des propriétés de régularité directionelle apparaissent. Nous nous sommes ainsi centré sur l'étude d'un modèle de champ aléatoire gaussien particulier vérifiant une relation d'autosimilarité matricielle. Nous avons ensuite généralisé ce modèle et introduit des champs gaussiens autosimilaires par rapport à un groupe

The main purpose of this thesis is the definition and the study of different concepts of uniform or pointwise irregularity which enable one to account for the fact that a function may have 'large increments' at any scales. To this end, we 'invert' the usual notions of Hölderian regularity. The main goal is then to relate these different concepts to wavelet theory. The wavelet criteria supplied enable to define functions or random fields the behavior of which differ with respect the family of scales chosen. Moreover, if we consider the pointwise point of view, a natural question is that of the definition of a weak multifractal analysis related to pointwise irregularity. Finally, we study examples of random fields with some properties of directional regularity. Thus we focus on the study of a special model of operator scaling Gaussian field. We then extend this model and introduced group self-similar Gaussian fields