Régulateurs supérieurs, périodes et valeurs spéciales de la fonction L de degré 4de GSP(4)

• Auteur / Autrice : Francesco Lemma
• Direction : Jörg Wildeshaus
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 13

Résumé

En direction de la conjecture de Beilnson, nous relions certaines valeurs speciales de la fonction L de degre quatre associee à une representation automorphe cuspidale pi du groupe symplectique GSP4 a l'image par le regulateur de Beilinson de certaines classes de cohomologie motivique sur des puissances du schema abelien universel sur la variete de Shimura S associee à GSP4' Ces classes sont definies comme l'image par Ie morphisme de Gysin associe au piongement du produit de deux courbes modulaires dans S, de cup-produits de symboles d'Eisenstein. En comparant les images directes superieures de modules de Hodge mixtes dans la 'compactification de Baily-Borel de ce produit de courbes modulaires d'une part et de celle de S d'autre part, on montre que les images de ces classes par le regulateur de Beilinson definissent des extensions entreia JR. -structure de Hodge mixte triviale et la cohomologie d'intersection en degre moitie de S. Via la dualite de Poincare et la description explicite de la cohomologie de Deligne en termes de courants, cela nous permet de relier ces classes à une valeur demi-entiere d'une representation integrale de la fonction L. En etudiant les proprietes de rationnalite de la forme automorphe apparaissant dans cette integrale, on en deduit une relation entre ces extensions, une integrals archimedienne, une periode occulte definie et etudiee par Harris, une periods de Deligne et la valeur speciale de cette fonction L predite par la conjecture de Beilinson. Nous supposons que 7f est stable, de multiplicite un et a un certain mondele de Bessel

Looking towards the Beilinson's conjecture, we relate some special values of the degree four L function associated to a cuspidal automorphic representation of the symplectic group GSP4 to the image under Beilinson's regulator of some motivic cohomology classes on products of the universal abelian scheme over the Shimura variety S of GSP4' These classes are defined as the image under the Gysin morphism associated to the embedding of a product of two modular curves in S of cup products of Eisenstein symbols. Comparing the higher direct images of some mixed Hodge modules in the Baily-Borel compactification of this product of modular curves on one side and in the one of S on the other side, we show that these classes map under Beilinsori's regulator to extensions between the trivial mixed lR-Hodge structure and the intersection cohomology in middle degree of S. Via Poincare duality and the explicit description of Deligne cohomology by means of currents, this allows us to relate these classes to an half-integral value of an integral representation of the L-function. Studying rationnality properties of the automorphic form appearing in the integral, we deduce a relation between these classes, an archimedean integral, an occult period invariant defined and studied by Harris, a Deligne period and the special value of the L function predicted by the Beilinson's conjecture. We assume that 11" is stable, of multiplicity one and has a Bessel model of a specific type.