Inégalités maximales et estimations Lp des transformées de Riesz des opérateurs de Scrödinger

Maximal inequalities and Riesz transform estimates on Lp spaces for Schrodinger operators

• Auteur / Autrice : Besma Ben Ali
• Direction : Pascal Auscher
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Invariance de jauge

Schrödinger, Opérateur de

Champs magnétiques

Mots clés libres

Inégalités maximales

Transformées de Riesz

Inégalité de Fefferman-Phong

Résumé

Cette thèse comporte trois principaux chapitres et deux annexes qui rappellent des connaissances utiles respectivement sur les classes de Muckenhoupt et sur l'opérateur de Schrödinger électromagnétique H(a, V ). Dans le premierchapitre, on se place dans le cas a = 0, on montre des estimations Lp pour desopérateurs de Schrödinger ?Delta+V sur R^n, et leurs racines carrées. Le potentiel est dans une classe de Hölder inverse améliorant les résultats de Shen. On s'appuies sur une inégalité de type Fefferman-Phong améliorée et des inégalités Hölder inverse pour des solutions faibles de ?Delta + V et leurs gradients. Dans le deuxième chapitre, on développe les techniques utilisées dans le premier en tenant compte de l'effet du champ magnétique. La première partie de ce chapitre est consacrée à l'étude de l'opérateur de Schrödinger magnétique pur. Dans la seconde partie, on tient compte du potentiel électrique V. L'opérateur H(a, V ) est vu comme une perturbation de H(a, 0). Tous les résultats sur la bornitude Lp des transformées de Riesz de H(a, V ) avec un a non nul et pour p > 2 sont nouveaux. On retrouve l'inégalité maximale prouvée par Shen et on l'améliore en allégeant les conditions sur le potentiel électrique. Le troisième chapitre est consacré à une deuxième étude de l'opérateur de Schrödinger électromagnétique. Les conditions prises sur le champmagnétique sont différentes de celles du deuxième chapitre. L'idée est de manipulercet opérateur d'une façon analogue à celle appliquée dans lechapitre un. En contrôlant le champ magnétique par le potentiel électrique, H(a, V ) peut être vu comme une perturbation du Laplacien.

This thesis concerns the Lp estimates for the Schrödinger operator H(a, V ) in R^n, with magnetic field B = curl(a) and a non negative electric potential V. The work is divided into three parts. In the first part, we consider the case where a = 0. We show various Lp estimates for Schrödinger operators ?Delta + V and their square roots. We assume reverse Hölder estimates on the potential and improve some results of Shen. Our main tools are improved Fefferman-Phong inequalities and reverse Hölder estimates for weak solutions of ?Delta+ V and their gradients. In the second part, we extend the main results obtained in the first part to the magnetic Scrödinger operator. Firstly, we study the case of pure magnetic operator H(a, 0). Consequently, we take into consideration the electric potential V. All results about Lp boundedness of Riesz transforms are new. In the third part, we introduce a di_erent set of conditions on the magnetic field. We use the same approach as in part one to establish new maximal inequalities and Lp estimates on Riesz transforms.