Un résultat d'existence pour les ensembles minimaux par optimisation sur des grilles polyédrales

A result about existence for minimal sets using polyhedral approximation

• Auteur / Autrice : Vincent Feuvrier
• Direction : Guy David
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Plateau, Problème de

Complexes (mathématiques)

Savon -- Couches minces

Mots clés libres

Ensembles minimaux

Polyèdres euclidiens

Ensembles quasiminimaux

Résumé

Rappelons qu'une partie est dite minimale si sa mesure de Hausdorff d-dimensionnelle ne peut être rendue plus petite par déformation dans une classe de compétiteurs adaptée. On peut citer comme exemple le problème de Plateau standard, pouvant se réécrire comme celui de trouver un ensemble minimal pour les déformations à support relativement compact dans un domaine, la frontière du domaine jouant alors le rôle d'une condition topologique de bord. On propose ici, dans le cadre d'un problème sur un ouvert en dimension et codimension quelconques, un résultat d'existence utilisant une méthode systématique pour construire une suite minimisante d'ensembles quasiminimaux, par minimisation finie sur les faces de grilles polyédrales adaptées. La construction de telles grilles est assez délicate, puisqu'on s'impose à la fois de faire l'approximation polyédrale d'un ensemble rectifiable le long de certains plans tangents pour contrôler l'augmentation de mesure correspondante, tout en gardant un contrôle uniforme sur la régularité des polyèdres de façon à éviter qu'ils ne soient trop plats, de façon à obtenir une constante de quasiminimalité ne dépendant que de la dimension. La suite d'ensembles quasiminimaux obtenue converge alors en distance de Hausdorff sur tout compact du domaine vers un ensemble minimal. L'existence de rétractions lipschitziennes sur la limite obtenue (par exemple lorsque d=2 et n=3) devrait alors permettre d'affirmer que la limite fait encore partie de la classe topologique initiale considérée. Le résultat d'existence pourrait encore se généraliser à certains problèmes sur des variétés sans bord, ou dans une certaine mesure à des domaines fermés.

Let us recall that a set is said to be minimal if its d-dimensional Hausdorff measure cannot be decreased by a deformation taken in a suitable class. One can give as an example the standard Plateau problem, which can be rewritten in terms of finding a minimal set under deformations that only move a relative compact subset of points of a given domain. In that case the boundary of the domain acts as a topological constrainst. We introduce a theorem of existence, in the case of an open domain and in arbitrary dimension and codimension, using an automatic method to build a minimizing sequence of quasiminimal sets, by minimizing over the faces of polyhedral grids. Such grids must be carefully designed, since we want to approximate a given rectifiable set by following the directions of some of its approximate tangent planes to keep control on the measure increase introduced by the approximation, while keeping uniform bounds on the shape of the polyhedrons to avoid making them too flat and obtain quasiminimality constants depending only on the dimension. The quasiminimal sequence we finally obtain converges on every compact subset of the domain to a minimal set. When we can find lipschitz retractions onto the limit (we can get them for instance when d=2 and n=3) we can claim that the limit is still in the topological class we used. Our result could also be generalized in some cases of boundaryless manifolds, or on closed domains when there exists a lipschitz retraction of a neighborhood onto the boundary.