Décomposition spectrale des groupes orthogonaux pairs et conséquences des conjectures d'Arthur

Spectral decomposition of even orthogonal groups and consequences of Arthur's conjectures

• Auteur / Autrice : Octavio Paniagua Taboada
• Direction : Laurent Clozel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hecke, Opérateurs de

Groupes orthogonaux

Groupes p-adiques

Formes automorphes

Mots clés libres

Représentations de groupes p-adiques

Caractère tordu

Résumé

Soit G un groupe linéaire réductif connexe défini sur un corps de nombres F. Un problème classique et fondamental dans la théorie de formes automorphes est la description de la décomposition spectral de la représentation régulière droite unitaire sur L2(G(F)\G(A)) de G(A). A travers de résultats bien connus cette représentation se décompose en somme hilbertienne de son spectre discret et son spectre continu. James Arthur a proposé une série de conjectures qui décrivent ce spectre discret à travers des paramètres ou A-paramètres ψ, homomorphismes du produit direct du groupe conjectural de Langlands LF avec SL(2 ,C) dans le L-groupe de G. Dans ma thèse, on construit des représentations du groupe orthogonal déployé SO(2n), résiduelles, de carré intégrable et qui possèdent la forme prédite par Arthur. On fait d'abord ce calcul résiduel pour le groupe SO(8) et puis pour SO(2n). Par ailleurs, on interprète les conjectures d'Arthur pour notre cas a fin de décrire explicitement la forme des paramètres qui apparaissent dans le spectre discret. On s'intéresse aux paramètres dont leurs matrices de Hecke (dans les places non ramifiées) peuvent avoir de valeurs propres plus grands que celles des paramètres construits auparavant. Un des résultats principaux de cette section est que ces paramètres ne peuvent pas être cuspidaux. On obtient des estimées (meilleures que celles connues) pour les valeurs propres des opérateurs de Hecke en utilisant les conjectures d’Arthur. Enfin, on détermine la composition du paquet d’Arthur pour les paramètres étudiés auparavant.

A classical and fundamental problem in the theory of automorphic forms is the description of the spectral decomposition of the right regular representation on L2(G(F)\G(A)) de G(A). It is well known that this space decomposes into the Hilbert sum of the continue spectrum and the discrete spectrum. Through James Arthur’s conjectures it is described what this discrete spectrum should be. In this thesis we build representations of the split group SO(2n), which are residual, square integrable and they have the form predicted by Arthur. We make this construction first for SO(8) and then for SO(2n). Next, we interprete Arthur’s conjectures for our case so we explicitly describe the parameters that should be present. We consider parameters whose Hecke matrices (non ramified places) have eigenvalues bigger (in absolute value) than those considered before. The main result is that these parameters cannot be cuspidal. Then we obtain estimations for the eigenvalues of Hecke operators, which are better than those already known. These bounds depend on Arthur’s conjectures. Finally we determinate the composition of Arthur’s packet for the parameter studied in the first chapters.