Autour des surpartitions et des identités de type Rogers-Ramanujan

Around overpartitions and Rogers-Ramanujan-type identities

• Auteur / Autrice : Olivier Mallet
• Direction : Jeremy Lovejoy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des nombres

Fonctions hypergéométriques

Analyse combinatoire énumérative

Partitions (mathématiques)

Résumé

Une partition d'un entier positif est une façon d'écrire ce nombre comme une somme d'entiers strictement positifs où l'ordre des termes ne compte pas. Plusieurs généralisations des partitions ont été étudiées, parmi lesquelles les surpartitions, qui sont des partitions où l'on peut surligner la dernière occurrence d'un nombre, les paires de surpartitions ou encore les partitions n-colorées, qui sont liées à un modèle de physique statistique. Dans cette thèse, on généralise aux paires de surpartitions les identités d'Andrews-Gordon, qui sont un extension d'un résultat classique de la théorie des partitions : les identités de Rogers-Ramanujan. Pour cela, on définit deux classes de séries hypergéométriques basiques et on montre que ce sont les séries génératrices des paires de surpartitions vérifiant différents type; de conditions (multiplicités, rangs successifs, dissection de Durfee) et de certains chemins du plan. On montre également que pour certaines valeurs des paramètres, ces séries peuvent s'écrire comme des produits infinis, ce qui conduit à plusieurs identités de type Rogers-Ramanujan. La démonstration utilise diverses méthodes combinatoires et analytiques. On définit enfin une généralisation des partitions n-colorées, les surpartitions n-colorées, et on les utilise pour interpréter combinatoirement certaines séries multiples et démontrer d'autres identités de type Rogers-Ramanujan.

A partition of a nonnegative integer is a way of writing this number as a sum of positive integers where order does not matter. Several generalizations of partitions have been studied, among which overpartitions, which are partitions where the last occurrence of a number can be overlined, overpartition pairs, and n-color partitions, which are related to a model of statistical physics. In this thesis, we general to overpartition pairs the Andrews-Gordon identities, which are an extension of a classical result of partition theory: the Rogers-Ramanujan identities. To do this, we define two classes basic hypergeometric series and we show that they are generating functions for overpartition pairs satisfying various kinds of conditions (multiplicities, successive ranks, Durfee dissection) and for certain lattice paths. We also shov that for some values of thé parameters, these series can be written as infinite products, which leads to several Rogers-Ramanujan-type identities. The proof uses various combinatorial and analytical methods. Finally, we define a generalization of n-color partitions, called n-color overpartitions, and we use these objects to interpret combinatorially certain multiple series and prove other Rogers-Ramanujan-typ identities.