Sémantique des jeux asynchrones et réécriture 2-dimensionnelle

Asynchronous game semantics and 2-dimensional rewriting systems

• Auteur / Autrice : Samuel Mimram
• Direction : Paul-André Melliès
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Catégories (mathématiques)

Sémantique selon la théorie des jeux

Algèbre linéaire

Résumé

Les sémantiques de jeux s'attachent à caractériser le comportement interactif des preuves et des programmes, en les modélisant par des stratégies qui décrivent la façon dont ils réagissent à leur environnement. Afin de prendre en compte les aspects concurrents des preuves en logique linéaire nous avons été amenés à retravailler les notions et techniques classiques de sémantique des jeux pour les étendre à un cadre asynchrone et non-alterne. Dans une première partie, nous définissons une famille de stratégies asynchrones donnant lieu à un modèle de logique linéaire, pleinement complet pour le fragment multiplicatif. Ces stratégies sont définies de façon locale par une série d'axiomes diagrammatiques ; elles sont ensuite raffinées par un critère dynamique d'ordonnancement, dont nous montrons qu'il impose une version orientée du critère de correction des réseaux de preuve. Cette formulation asynchrone permet d'unifier des modèles variés de la logique linéaire - aussi bien séquentiels que concurrents, dynamiques que statiques - où les preuves sont vues comme des stratégies séquentielles, des stratégies concurrentes, des relations ou des structures d'événements. Dans une seconde partie, nous abordons une autre approche pou décrire la causalité induite par les preuves et introduisons une sémantique de jeux capturant les dépendances engendrées par les connecteurs du premier ordre en logique propositionnelle. Nous montrons que la catégorie résultante peut être finiment présentée par un 2-polygraphe et étudions la possibilité d'orienter cette présentation en un système de réécriture confluent, notamment en introduisant un algorithme d'unification dans ce cadre 2-dimensionnel.

Game semantics characterize the interactive behaviour of proofs and programs, by modeling them as strategies which describe the way they react to their environment. In order to take in account concurrent aspects of proofs in linear logic, usual notions and techniques in game semantics are recasted in an asynchronous and non-alternating framework. In a first part, we define a family of asynchronous strategies giving rise to a model of linear logic, which is fully complete for the multiplicative fragment. These strategies are defined in a purely local way by a series of diagrammatic axioms. Then, they are refined by a dynamic scheduling criterion, which is shown to constrain strategies to satisfy an oriented variant of the correctness criterion of proof nets. This asynchronous formulation unifies various models of linear logic — sequential as well as concurrent, dynamic as well as static - where proofs are seen either as sequential strategies, as concurrent strategies, as relations, or as event structures. In a second part, we investigate another approach to describe the causality induced by proofs and introduce a game semantics which captures dependencies induced by first order connectives in propositional logic. We then show that the resulting category can be finitely presented by a 2-polygraph and discuss how this presentation could be oriented in a confluent rewriting System. In particular, we introduce an unification algorithm in this 2-dimensional framework.