Analyse des équations de multiconfiguration Hartree-Fock dépendantes du temps

• Auteur / Autrice : Saber Trabelsi
• Direction : Claude Bardos, Norbert Mauser
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Excitation coulombienne

Hartree-Fock, Méthode d'approximation

Schrödinger, Équation de

Résumé

Les méthodes de multi-configuration sont une amélioration naturelle des modèles simples d' approximation bien connus de l'équation de Schrödinger linéaire à N corps pour les systèmes moléculaires sous interactions binaires -Coulombiennes dans les situations réelles-, tel que les modèles de Hartree et de Hartree-Fock. Les modèles telles que MCTDHF sont intensivement utilisés pour des simulations numériques en chimie/physique quantique. Cependant, les équations associées à ces modèles sont encore mal compris d'un point de vue mathématique. La présente contribution apporte la première fondation mathématique rigoureuse aux équations associées à la MCTDH(F) avec interaction singulière de Coulomb. En particulier, on formule le problème d'évolution d'une façon qui convient à l'analyse mathématique et on obtient des résultats d'existence et d'unicité dépendants de la régularité de la donnée initiale avec et sans hypothèse sur le rang de la matrice densité associée. La simulation numérique d'un modèle simplifié est aussi présentée avec un intérêt particulier è ce qu'on appelle « corrélation » qui représente à elle seule une des principales motivations et avantages des méthodes de type multiconfiguration comparées aux méthodes de Hartree-Fock.

The multiconfiguration methods are a natural improvement of well-known simple models for approximating the linear N body Schro}dinger equation for atomic and molecular Systems with binary - Coulomb in realistic situations- interactions, like the Hartree and the Hartree-Fock equation. Models like MCTDHF are intensively used for numerical simulations in quantum physics/chemistry. However, from the mathematical point of view, these equations are yet poorly understood. The present contribution gives the first rigorous mathematical foundation of the MCTHDH(F) equations with the singular Coulomb interaction. In particular, we formulate in a convenient way for the mathematical analysis the associated initial value problem for which we obtain well-posedness results depending on the regularity of the initial data, with and without an assumption on the rank of the associated density matrix. Also, numerical simulations of a toy model are presented with particular interest to the so called « correlation » which is one of the main motivations and advantage of the multiconfiguration methods compared to Hartree-Fock models.