Approximation of equilibrium distributions of some stochastic systems with McKean-Vlasov interactions

• Auteur / Autrice : Angela Ganz Bustos
• Direction : Mireille Bossy, Denis Talay
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Chaos (théorie des systèmes)

Équations différentielles stochastiques

Euler, Équations d'

Feynman, Diagrammes de

Opérateurs de contraction

Théorie du transport

Résumé

In this thesis we propose a numerical approximation for the equilibrium measure of a McKean Vlasov stochastic differential equation (SDE), when the drift coefficient is given by a function with ergodic properties, which is perturbed by a Lipschitzian nonlinear interaction function. We establish a theorem of existence and uniqueness of the equilibrium measure, as well the exponential convergence rate to this equilibrium. We apply the method based on the obtention of Wasserstein contractions using the random coupling variables, as suggested by Cattiaux-Gullin-Malrieu (2006) for the convex potential drift case. After, using the particle system, the chaos propagation property and Euler’s scheme to approximate the SDE, we estimate numerically the integral of every Lipschit function w. R. T. The measure at fixed time, with a time-uniform estimation error. Then, using this numerical estimation we approximate the integral w. R. T. The equilibrium measure. Finally, in the one-dimensional case, we provide numerical estimations for the density and the cumulative distribution function of the equilibrium measure. We use the algorithm proposed by Bossy-Talay (1996) and obtain the optimal rate convergence of the approximation in different norms.

Dans cette thèse, nous proposons une approximation numérique pour la mesure d’équilibre d’une équation différentielle stochastique (EDS) du type McKean Vlasov, lorsque le drift est donné par une fonction avec des propriétés ergodiques, qui est perturbé par un noyau d’interaction non-linéaire Lipschitzien. Nous établissons un théorème d’existence et d’unicité de la mesure d’équilibre, ainsi que la vitesse de convergence exponentielle à cet équilibre. Nous utilisons la méthode basée sur le couplage des variables aléatoires pour obtenir des contractions dans la métrique de Wasserstein, comme l’a fait Cattiaux-Guillin-Malrieu (2006) pour le cas drift de la forme potentielle convexe. Ensuite, à l’aide du système de particules, la propriété de propagation du chaos et du schéma d’Euler pour approximer l’EDS, nous estimons numériquement l’intégrale d’une fonction Lipschitz par rapport à la mesure à temps fixé, avec une erreur d’estimation uniforme en temps. Par conséquent, nous donnons aussi une approximation numérique pour l’intégrale par rapport à la mesure d’équilibre. Finalement, dans le cas unidimensionnel, nous obtenons des estimations de la fonction densité et de la fonction de distribution cumulative de la mesure d’équilibre. Nous utilisons l’algorithme proposé par Bossy-Talay (1996) et nous fournissons la vitesse de convergence optimale de cette approximation, exprimée avec différentes normes. Ce résultat généralise la technique développée dans Bossy (2004) au cas ergodique, où l’ordre de convergence ne doit pas dépendre de l’intervalle de temps considéré.