Derived categories, moduli spaces

Catégories dérivées, espaces des modules

• Auteur / Autrice : Marcello Bernardara
• Direction : Arnaud Beauville
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modules, Théorie des

Géométrie algébrique

Faisceaux, Théorie des

Calcul infinitésimal

Résumé

Dans la première partie de la thèse, on rappelle la définition et les propriétés des catégories dérivées bornées des faisceaux cohérents sur une variété lisse projective. On généralise ici un théorème de Orlov en donnant une décomposition semi orthogonale de la catégorie dans le cas d’une variété de Brauer-Severi. On montre en plus comment, lorsque deux courbes lisses ont la même catégorie dérivée, l’isomorphisme induit est exactement celui qui nous est donné par le théorème de Torelli. Dans la deuxième partie, on étudie les espaces de modules de couples sur une surface elliptique K3, en utilisant une construction de Friedman. Ceci permet de réécrire l’isomorphisme entre un espace de modules et un schéma de Hilbert en termes de transformations birationnelles entre les espaces des couples.

In the first part of the thesis, we recall the definition and the main properties of bounded derived categories of coherent sheaves on smooth projective varieties. We are generalizing a theorem by Orlov by giving a semi orthogonal decomposition of the derived category of a Brauer-Severi scheme? We also show that, if two smooth curves have equivalent derived categories, the induced isomorphism between the curves is exactly the one induced by the Torelli theorem. In the second part, we study moduli spaces of pairs on elliptic K3 surfaces, using a construction by Friedman. Thos allows to describe the isomorphism between a moduli space and a Hilbert scheme by the composition of birational maps between the moduli spaces of couples.