Existence, unicité et approximation des équations de Schrödinger stochastiques

Existence, uniqueness and approximation of stochastic schrodinger equations

• Auteur / Autrice : Clément Pellegrini
• Direction : Stéphane Attal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Lyon 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques

Résumé

« Les équations de Schrödinger stochastiques » sont des équations différentielles stochastiques de type non classique qui décrivent l’évolution continue de petits systèmes quantiques soumis à des principes de mesures indirectes. Les solutions de ces équations sont appelées « trajectoires quantiques ». La mise en place de ces équations nécessite l’utilisation d’outils très techniques comme le filtrage quantique. Dans cette thèse nous obtenons ces modèles comme limite d’un modèle physique de mesure à temps discret : « les mesures quantiques répétées ». Le modèle est le suivant. On considère un petit système en contact avec une chaîne infinie de petits systèmes (tous notés H). Chaque système H interagit avec le petit système pendant un temps h. Après chaque interaction on effectue une mesure sur système H qui vient d’interagir. La suite de mesures entraîne une suite de modifications aléatoires du petit système. Cette suite de modifications est alors décrite par une chaîne de Markov dépendant du temps d’interaction h. On obtient alors les trajectoires quantiques continues comme limite (lorsque h tend vers 0) de ces chaînes de Markov. Cette approche par approximation nécessite au préalable l’étude complètes des équations de Schrödinger continue : existence et unicité des solutions. Cette approche discrète permet de justifier l’utilisation de ces équations à l’aide d’un modèle intuitif et permet également d’envisager les problèmes de contrôle, de chaleur et la description des équations de Schrödinger stochastiques multidimensionnelles.

The stochastic Schrödinger equations are non classical type of stochastic differential equations which describe the evolution of a small system undergoing a continual indirect measurement. The solution of these equations are called “Quantum trajectories”. In order to obtain the expression of these equations, one must use very technical tools as Quantum Filtering Theory. Here, we obtain such equations as a continuous time limit of a discrete physical model of measurement. The setup is as follows. We consider a small system in contact with an infinite chain of small quantum systems (all systems are demoted by H). Each system interacts with the small system during a time h. After each interaction a measurement is performed on the copy H which has finished to interact. The successive measurement involve random modifications of the small system described by a classical Markov chain. This Markov chain depends naturally on the time interaction h, then, we obtain the quantum trajectories as continuous time limit (h goes to zero) of these Markov chain. This discrete approach gives then a physical and intuitive justification of the stochastic Schrödinger equations, it needs a complete study of the continuous equations: problem of existence and uniqueness of solution. This approach allows next to come into the problem of control, heat bath and multidimensional stochastic Schrödinger equations.