Robust discretization methods for the second order diffusion equation in anisotropic porous media

Quelques méthodes numériques robustes pour les modèles de transfert diffusif en milieu poreux

• Auteur / Autrice : Vincent Fontaine
• Direction : Harry Boyer, Anis Younes
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique des fluides
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : La Réunion

Mots clés

Mots clés contrôlés

Volumes finis, Méthodes de

Anisotropie

Équation de la chaleur

Résumé

Cette thèse est consacrée à la résolution numérique des équations de diffusion régissant quelques-uns des nombreux processus de transfert de masse en milieu poreux. La méthode des éléments Finis Mixtes, plus précisément sa variante hybride, et la méthode des Volumes Finis Multipoints semblent particulièrement appropriées à ce type de problème puisqu'elles offrent une approximation simultanée de la variable d'état et des flux de masse. De plus, ces méthodes sont localement conservatives et elles manipulent aisément les maillages destructurés ainsi que les hétérogénéités et discontinuités présentes au sein du milieu. Dans la pratique, on privilégie le plus souvent les méthodes mixtes de plus bas degré utilisant des fonctions de base de Raviart-Thomas ou de Brezzi-Douglas-Marini afin de minimiser les coûts en temps-calcul. La méthode des Volumes Finis Multipoints est décrite dans l'espace physique et dans l'espace de référence pour différentes localisations des points de quadrature. Une nouvelle approche construite à partir d'une trame mixte et utilisant une technique de réduction multipoint est également étudiée dans ce travail. Nous établissons quelques liens entre cette nouvelle formulation mixte et la méthode des Volumes Finis Multipoints pour des grilles triangulaires ou quadrangulaires. Les différents tests numériques réalisés en milieux fortement hétérogènes et anisotropes montrent la supériorité de cette nouvelle approximation.

In this dissertation, our focus is on the well-known class of elliptic/parabolic boundary value problems, namely the second order diffusion equation, usually used to model mass transfer in porous media. We discuss the Mixed Finite Element (MFE) methods and its hybridization technique and families of flux-continuous schemes referred in the literature as Multi-Point Flux Approximation (MPFA) methods. MFE and MPFA methods are well suited for the resolution of this prototype equation since both approaches are locally conservative, handle easily unstructured grids and heterogeneous / discontinuous media. Low order MFE methods are considered in this work using either finite elements of Raviart-Thomas or Brezzi-Douglas-Marini. The family of flux-continuous schemes is presented in the physical space and reference space, and has been performed for a large range of quadrature points. Motivated by MPFA formulation, a Multipoint version of Mixed Finite Element (MPMFE) method that reduces to cell-centered finite differences is investigated on quadrilateral and simplicial grids that performs well for discontinuous full tensor coefficients. The link between MPMFE and MPFA formulations is show algebraically for the lowest order finite elements of Raviart-Thomas and of Brezzi-Douglas-Marini. The different tests carried out in anisotropic and heterogeneous media show the computational superiority of the MPMFE approximation.