Dynamique chaotique en vue d’applications aux télécommunications : etude d’une transformation ponctuelle symétriquement découplée définie à partir d’une fonction sinus carré

Chaotic dynamics for applications in telecommunication : study of a square separate map defined from a sine square function

• Auteur / Autrice : Jie Xu
• Direction : Danièle Fournier-Prunaret, Pascal Chargé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Systèmes automatiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Toulouse, INSA

Mots clés

Mots clés contrôlés

Télécommunications

Chaos (théorie des systèmes)

Mots clés libres

Bifurcation

Variété critique

Attracteur chaotique

Générateur chaotique

Télécommunication sécurisée

Résumé

L’objet de ce mémoire concerne un système à retard modélisé par des transformations non linéaires de dimension un, deux et supérieure. Nous étudions en particulier des transformations ponctuelles symétriquement découplées définies à partir d’une fonction sinus. L'objectif de cette étude consiste à exploiter les possibilités d'application des propriétés du chaos pour sécuriser des transmissions. D'une manière générale, une information peut être modifiée ou cachée à l'aide d'un signal chaotique (par masquage, modulation…). Le caractère non périodique et surtout la non prévisibilité d’un signal chaotique par celui qui ignore les paramètres et les conditions initiales, rendent l'information inaccessible à ce dernier. Le premier chapitre de ce mémoire est consacré au rappel d’un certain nombre de notions élémentaires concernant les transformations ponctuelles, puis à la définition de notions plus spécifiques (courbes invariantes, bassins d'attraction et variétés critiques). L’étude des bifurcations dans le plan des paramètres est ensuite abordée. Le travail permet d’évaluer les changements qualitatifs de comportement du système lorsque les paramètres varient. Des rappels concernant les bifurcations classiques et les structures de bifurcations de type ''boîtes-emboîtées'' sont données, ainsi que des généralités sur la classe des récurrences symétriquement découplées, classe à laquelle appartient le type de transformation qui est étudiée dans ce mémoire. Le deuxième chapitre porte sur l’étude spécifique du système à retard modélisé par une transformation ponctuelle. La transformation étudiée est basée sur une fonction sinus carré, elle représente en réalité un modèle simplifié d’un système optoélectronique utilisé dans les télécommunications. Dans ce chapitre, les différentes propriétés de la transformation sinus carré en dimension 1 sont abordées. L’utilisation d’outils connus d'analyse des systèmes dynamiques non linéaires permet d’apporter une compréhension des phénomènes chaotiques produits par ce système. Les chapitres trois et quatre sont consacrés à l'étude du système sinus carré en dimension deux et supérieure. Dans le chapitre 5, nous proposons un modèle de générateur chaotique. La transformation chaotique itérée T est implémentée dans un circuit numérique et les variables d'état traversent un circuit analogique avant d'être réinjectées dans le circuit numérique. Nous proposons une étude du système pour un filtre RC en guise de circuit analytique. Une analyse complète du système est donnée en utilisant ensuite une partie analogique plus intéressante, un filtre linéaire de série RLC. Après l'étude de leur structures de bifurcation et comportements chaotiques, une écriture asymptotique du système est proposée, qui permet de retrouver le système avec la forme du système à retard ''Sinus carré''

The aim of this thesis is on a delay system modeled by nonlinear maps of one, two and higher dimension. We study particularly some square separate maps defined from a sine square function. The goal of this study is to put in evidence some chaotic properties of the system which can be used in telecommunication. Generally speaking, information can be modified or hidden by a chaotic signal (masking, modulation…). The first chapter is devoted to the recall of some basic notions about maps, then to the definition of specific notions (bifurcation, critical manifolds, chaotic attractor…). The second chapter deals with the study of the delay system modeled by a map. The studied map is based on a sine square function, it is actually a simplified model of an optoelectronic system used in secure telecommunications. In this chapter, the different properties of the one-dimensional sine square map are particularly discussed. Chapters three and four are devoted to the study of the sine square system in the two-dimensional case and higher. In Chapter 5, we propose a model of chaotic generator. A complete analysis of the system is given by using an analogical part, a RC (or RLC) low-pass filter. An asymptotic model of the system is then proposed, which allows to find the system under the form of the delay system ''Sinus square''