Jet differentials, holomorphic Morse inequalities and hyperbolicity

• Auteur / Autrice : Simone Diverio
• Direction : Jean-Pierre Demailly, Stefano Trapani
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015) en cotutelle avec Università degli studi La Sapienza (Rome)

Résumé

Soit X (resp. D) une hypersurface projective lisse en pA(n+ 1) (resp. Un diviseur irreductible lisse en PAn). On montre que si le degre de X (resp. De D) est suffisement grand, alors il y a beaucoup de sections globales du fibre des differentielles invariantes des jets d'ordre n sur X (resp. Du fibre des differentielles logarithmiques invariantes d'ordre n sur le couple logarithmique (PAn,D)), s'annulant sur un diviseur ample fixe. On donne aussi des bornes inferieures effectives pour le degre de X (resp. De D) pour avoir telles sections, au moins en dimension petite. De plus, on montre que ces resultats sont optimaux par rapport a l'ordre k des jets: il n'existe pas de telles sections globales de differentielles de jets d'ordre k<n. Enfm, si (X,V) est une variete dirigee complexe compacte hermitienne, etant donne k>O, on munit le fibre en droites tautologique O_(X_k)(-l) du k-eme fibre des jets projectivise, d'une metrique hermitienne canonique dont l'asymptotique ne depend que de la courbure de Chem de V. Ensuite, on applique ces calculs de courbure pour obtenir une nouvelle preuve de l'existence de differentielles invariantes de jets sur les surfaces algebriques de type general, dont les classes de Chem satisfont a certaines inegalites.

Let X (resp. D) be a smooth projective hypersurface in pA(n+ 1) (resp. A smooth irreducible divisor in PAn). We show that ifthe degree of X (resp. OfD) is large enough, then there are a lot of global sections of the bundle of invariant jet differentials of order n over X (resp. Of the bundle of logarithmic invariant jet differentials of order n over the log-pair (PAn,D)), vanishing on a fixed ample divisor. We also give effective lower bounds for the degree of X (resp. Of D) in order to have these sections, at least in low dimension. Moreover, we show that these results are sharp as far as the order k of jets is concemed: there are no such global jet differentials of order k<n. Finally, for (X,V) a hermitian compact complex directed manifold, given k>O, we endow the tautologicalline bundle O_(X_k)(-l) of the k-th projectivizedjet bundle, with a canonical hermitian metric whose asymptotic does depend only on the Chem curvature ofV. We then apply these curvature computations to obtain a new proof of the existence of invariant jet differentials on algebraic surfaces of general type, whose Chem classes satisfy certain inequalities.