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Thèse soutenue

Modèles nonlinéaires et stochastiques en neuroscience

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Auteur / Autrice : Jonathan Touboul
Direction : Olivier Faugeras
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 2008
Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Résumé

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De nombreuses nouvelles questions mathématiques sont posées par les neurosciences actuelles. Dans cette thèse, nous avons tenté d'appliquer des outils avancés d'analyse mathématique à des problèmes importants dans le domaine des neurosciences, avec un intérêt particulier pour les phénomènes non-linéaires ou aléatoires. Ainsi, l'excitabilité des cellules nerveuses et la nature binaire des signaux échangés nous a conduit à étudier des systèmes dynamiques hybrides décrits à la fois une équation différentielle non-linéaire ordinaire reproduisant la dynamique du potentiel de membrane de la cellule et un système dynamique discret modélisant l'émission d'un potentiel d'action. Ces systèmes dynamiques hybrides sont très intéressants d'un point de vue mathématique puisqu'ils allient les capacités des deux types de dynamiques. Par ailleurs, l'effet du bruit sur les neurones influence la façon dont les signaux sont traités, et a des implications importantes en termes de codage neuronal. L'étude de ce problème nous a mené à étudier en profondeur le problème des premiers temps d'atteinte de processus stochastiques. Les problèmes les plus simples peuvent être traités en utilisant les outils mathématiques existants, mais dès que la description du neurone et de son activité devient un peu plus précise, l'analyse mathématique usuelle échoue. Nous avons généralisé les resultats mathématiques existants afin de prendre en compte l'intégration synaptique pour un modèle simple de neurone et de synapse. Enfin, le cerveau est un système très complexe, puisqu'il est composé d'un trés grand nombre de neurones qui sont eux-même des entités complexes, interagissant de façon non-linéaire et compliquée à travers un réseau à la connectivité très spécifique et labyrinthique. La question de la modélisation d'une population de neurones, de la réduction de leur complexité, de fournir et d'étudier des modèles accessibles à l'analyse mathématique est discutée dans ma thèse, à travers des modélisations événenementielles, champs-moyen et par l'étude de cycles de certaines équations différentielles ordinaires à l'origine de phénomènes oscillatoires de type épileptique.