Quasi-morphismes et difféomorphismes hamiltoniens

Quasi-morphisms and Hamiltonian diffeomorphisms

• Auteur / Autrice : Pierre Py
• Direction : Étienne Ghys
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : École normale supérieure de Lyon (Lyon ; 1987-2009)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés symplectiques

Cohomologie

Difféomorphismes

Mots clés libres

Quasi-morphismes

Résumé

Dans ce travail, nous étudions différents invariants de nature algébrique et dynamique définis sur le groupe des diff´eomorphismes hamiltoniens d’une surface fermée orientée. Occasionnellement, nous considérerons également le groupe des difféomorphismes hamiltoniens de certaines variétés symplectiques de dimension supérieure. Ces invariants peuvent être vus comme des généralisations du nombre de rotation de Poincaré. Tous ces invariants sont reliés à la théorie de la cohomologie bornée. Dans les deux premiers chapitres nous construisons des quasi-morphismes sur le (revêtement universel du) groupe des difféomorphismes hamiltoniens des surfaces de genre strictement positif et des variétés symplectiques monotones. Le troisième chapitre contient quelques résultats concernant les actions préservant l’aire sur les surfaces de réseaux dans les groupes de Lie semi-simples. Le dernier chapitre contient quelques remarques autour de la distance de Hofer.

In this work, we study various invariants of algebraic and dynamical nature, defined on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of certain symplectic manifolds. These invariants are constructed in the spirit of the classical Poincaré rotation number and are related to the theory of bounded cohomology. In the first two chapters, we construct homogeneous quasi-morphisms on the (universal cover of the) group of Hamiltonian diffeomorphisms of any closed oriented surface of positive genus and any monotone symplectic manifold. The third chapter contains some results concerning area preserving actions on surfaces of lattices in semisimple groups. The last chapter contains some remarks around Hofer’s metric on the group of Hamiltonian diffeomorphisms