Matrices bistochastiques paires et impaires

Even and odd doubly stochastic matrices

• Auteur / Autrice : Simon Rénier
• Direction : Joachim Von Below
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Littoral
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Permanents (matrices)

Permutations (mathématiques)

Mots clés libres

Matrices bistochastiques

Diagonale (mathématiques)

Parité (mathématiques)

Résumé

La première partie est consacrée à la parité dans l’ensemble des matrices bistochastiques de taille n : Ωn. Le nombre minimal d’éléments strictement positifs d’une matrice de Ωn garantissant la présence d’une diagonale paire est caractérisé : e n =(n²+6n)/4 + (1+(-1) n+1 )/8. Le minimum de diagonales paires contenues par une matrice de taille n à p ≤ e n éléments positifs donnés est aussi caractérisé. La seconde partie est dédiée à une caractérisation variationnelle. L’optique est de recenser les diagonales paires π 1 ,…, π s contenues par une matrice A de Ωn et d’analyser la fontion f(x1 ,…, xs)= || A - ∑ i xi πi || ² qui s’annulera si et seulement si A est paire. Cette constatation offre un algorithme permettant de décomposer une matrice dans l’ensemble des matrices paires, et offre une réponse au problème de Mirsky. Une troisième partie est consacrée au lien entre les matrices bistochastiques et du laplacien continu sur les graphes. En effet, le spectre de celui-ci est lié au spectre de la matrice d’adjacence du graphe par l’équation Zφ= cos √λ φ. Il y est recensé les différentes parités trouvées pour tous les graphes réguliers de 3 à 8 sommets. Les programmes informatiques (en annexe) permettent de trouver les décompositions dans les polyèdres formés des matrices paires et impaires. La dernière partie est dédiée à une caractérisation réciproque des matrices bistochastiques infinies localement à l’aide d’une notion de limite particulière. Cette caractérisation permet de définir la notion de matrices bistochastiques infinies localement finies paires, dont le polyèdre n’est plus stable par multiplication matricielle.

The first part of the thesis is devoted to parity in the polyhedron of n-square doubly-stochastic matrices : Ωn. The optimal general lower bound in order to guarantee the existence of an even diagonal is : e n =(n²+6n)/4 + (1+(-1) n+1 )/8. The minimal number of even diagonals for given number p of positive elements is determined for values of p between n and e n. The second section of the first chapter is devoted to the characterization of even doubly-stochastic matrices with the aid of the minima of functional defined by the even diagonals in the matrix. We denote by π 1 ,…, π s diagonals of A and we study the functional f(x1 ,…, xs)= || A - ∑ i xi πi || ², the minima of f is 0 if A is even. This leads to the decomposition for even matrices. In the second chapter, we observe the existence of relationships between doubly-stochastic matrices and the continuous Laplacian on networks. The spectrum of the Laplacian is linked to the spectrum of the adjacency matrix by the equation Zφ= cos √λ φ. We discuss parity for regular graphs with less than 8 vertices. In the last part, we state infinite locally finite doubly-stochastic matrices are particular limits of sequences of finit doubly-stochastic matrices and reciprocally. This allows a definition of parity in this set, the polyhedron of even infinit locally finite doubly-stochastic matrices is not stable by matrix product.