Analyticité de la pression et application aux sommes d'exponentielles pour des systèmes dynamiques localement inversibles et des poids Höldériens

Analyticity of the pressure and application to sums of exponential for locally invertible dynamical systems and Hölderian weight functions

• Auteur / Autrice : Mohamed Mounsef
• Direction : Bernard Schmitt
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Dijon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Perturbation (mathématiques)

Systèmes dynamiques

Théorie ergodique

Fonctions exponentielles

Résumé

Dans cette thèse, on présente deux projets de recherche; le premier porte sur l’analyticité de la pression topologique des systèmes dynamiques localement inversibles et le deuxième sur l’étude du comportement asymptotique presque sûr de sommes d’exponentielles. Dans la première partie on se place dans le cadre des systèmes dynamiques localement inversibles et nous rappelons quelques résultats existants dans le cas de la dimension 1 avant de les généraliser au cas multidimensionnel. Les propriétés statistiques de ces systèmes découlent des propriétés spectrales d’un opérateur dit opérateur de transfert notamment sa plus grande valeur propre qui est l’exponentielle de la pression topologique du système associé. Dans la deuxième partie, nous étudions le comportement asymptotique de sommes d’exponentielles dans un cadre général ; nous donnons des conditions suffisantes permettant de relier ce comportement à une fonction “énergie libre”. Nous montrons ensuite que ces conditions sont satisfaites dans le cadre étudié en première partie.

In this thesis, we present two research projects; the first one concerns the analyticity of the topological pressure of locally invertible dynamical systems and the second the study of the almost sure asymptotical behaviour of sums of exponential. The first part takes place within the framework of the locally invertible dynamical systems; we recall some existing results in the case of the dimension 1; then we generalize them in the multidimensional case. The statistical properties of these systems come from spectral properties of a called transfer operator; in particular its biggest eigen value which is the exponential of the topological pressure of the associated system. In the second part, we study the asymptotical behaviour of sums of exponentials in a general framework. We give sufficient conditions allowing to relate this behaviour to a so called “free energy” function. We show that these conditions are satisfied for the locally invertible dynamical systems previously considered.