Catégorification d'algèbres amassées antisymétrisables

Categorification of skew-symmetrizable cluster algebras

• Auteur / Autrice : Laurent Demonet
• Direction : Bernard Leclerc
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Caen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres enveloppantes universelles

Groupes de Lie semi-simples

Variétés de drapeaux (géométrie)

Algèbres artiniennes

Algèbres non commutatives

Catégories abéliennes

Représentations d'algèbres

Résumé

Le but de cette thèse est de catégorifier des algèbres amassées antisymétrisables. Une grande variété de cas antisymétriques a déjà été traitée par exemple par Keller, Caldero-Keller, Geiß-Leclerc-Schröer, Dehy-Keller, Fu-Keller, Palu. Pour ce faire, on utilise des catégories exactes stablement 2-Calabi-Yau. Pour traiter le cas antisymétrisable, nous considérons l'action d'un groupe fini sur une telle catégorie et nous introduisons une catégorie équivariante associée qui est encore stablement 2-Calabi-Yau. Nous développons une théorie des mutations pour ses objets rigides invariants. Une grande famille d'exemples est fournie par les catégories de représentations d'algèbres préprojectives : par exemple, si l'on prend la catégorie des représentations de l'algèbre préprojective de diagramme A(2n-1) muni de son automorphisme d'ordre 2, on obtient l'algèbre amassée des fonctions sur le groupe de Lie unipotent de type C(n). On peut de la même façon obtenir toutes les algèbres amassées de fonctions sur les sous-groupes unipotents maximaux des groupes de Lie semi-simple. Par ailleurs, on peut construire ainsi toutes les algèbres amassées de type fini. Toutes ces catégorifications nous permettent de démontrer, pour les algèbres amassées correspondantes, une conjecture de Fomin et Zelevinsky qui affirme l'indépendance linéaire des monômes d'amas.

The aim of this thesis is to categorify some skew-symmetrizable cluster algebras. A lot of skew-symmetric cases have been handled for example by Keller, Caldero-Keller, Geiß-Leclerc-Schröer, Dehy-Keller, Fu-Keller, Palu. In order to do that, one uses stably 2-Calabi-Yau exact categories. For the skew-symmetrizable case, we consider an action of a finite group on such a category and we introduce an equivariant category which is also stably 2-Calabi-Yau. We develop a theory of mutations for its invariant rigid objects. A large familly of examples is given by categories of representations of preprojective algebras : for instance, the category of representations of the preprojective algebra of type A(2n-1) with its automorphism of order 2 gives rise to the cluster algebra of functions over the unipotent Lie group of type C(n). In a similar way, we can get all the cluster algebras of functions over unipotent maximal subgroups of semi-simple Lie groups. Moreover, we obtain all the cluster algebras of finite type. All these categorifications lead to a proof, for the corresponding cluster algebras, of a conjecture of Fomin and Zelevinsky which states that the cluster monomials are linearly independant.