Contribution à l'étude d'équations de propagations de fronts locales et non-locales

Contribution to the study of local and nonlocal front propagation equations

• Auteur / Autrice : Aurélien Monteillet
• Direction : Pierre Cardaliaguet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Brest

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles

Mots clés libres

Propagations de fronts

Équations de Hamilton-Jacobi

Solutions de viscosité

Équation eikonale

Équations non-locales

Fonctions à variations bornées et ensembles de périmètre fini

Mouvements minimisants

Approximation numérique

Résumé

Ce travail porte sur l’étude de propagations de fronts gouvernées par des lois locales et non-locales. Dans la méthode par lignes de niveau, le front est vu comme ligne de niveau 0 d’une fonction auxiliaire. A la loi géométrique d’évolution du front correspond alors une équation de Hamilton-Jacobi sur cette fonction, que nous envisageons dans le cadre des solutions de viscosité. Dans les modéles non-locaux, la difficulté principale pour prouver des résultats d’existence ou d’unicité est l’absence de principe d’inclusion entre les fronts. Dans la méthode par lignes de niveau, ceci correspond à une absence de principe de comparaison entre les fonctions, qui rend impossible l’utilisation des techniques habituelles. L’utilisation alternative de méthodes de point fixe associe à toute équation non-locale une famille d’équations locales. La compréhension de la régularité des solutions des équations locales, et en particulier du périmètre de leurs lignes de niveau, apparaît alors cruciale dans les arguments de point fixe. Dans le chapitre 1, on prouve des formulations intégrales de l’équation eikonale locale, dont on déduit des estimations sur le périmétre des lignes de niveau de ses solutions. Dans le reste des travaux, on s’intéresse aux équations non-locales, et notamment à une notion de solution faible pour ces équations. Deux modèles non-locaux, la dynamique des dislocations et un système de type Fitzhugh-Nagumo, sont également étudiés en détails. On donne en particulier des résultats d’existence, d’unicité et d’approximation numérique dé solutions faibles.

The subject of this work is the study of front propagations governed by local and nonlocal Iaws. In the so-called level-set method, The fron is seen as the 0 level-set of an auxiliary function. In this context, the geometric evolution law of the front corresponds to a Hamilton-Jacob equation satisfied by this function; this equation is considered in the framework of viscosity solutions. In nonlocal models, the main obstacle to existence and uniqueness results is the absence of inclusion principle between fronts. In the level-set method, this corresponds to an absence of comparison principle between functions, which makes impossible the use of classical techniques. The alternative use of fixed point methods associates to any nonlocal equation a family of localequations. Understanding the regularity of the solutions of local equations, and in particular the perimeter of their level-sets, therefore appears crucial in fixed point type arguments. In Chapter 1, we prove integral formulations for the local eikonal equation, from which we deduce perimeter estimates on the level-sets of its solutions. In the rest of this work, we focus en nonlocal equations, and in particular on a notion of weak solution for these equations. Two nonlocal models, the dislocation dynamics equation and a Fitzhugh-Nagumo type system, are also studied in details. In particular, we give results on existence, uniqueness and numerical approximation of weak solutions.