Contribution à l'étude des courbures discrètes et de leurs applications

Contribution to the study of discrete curvatures and there applications

• Auteur / Autrice : Alaa Abdul-Jabbar Mustafa
• Direction : Marc Daniel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2
• Ecole(s) doctorale(s) : École Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Loi de Gauss (statistique)

Surfaces (mathématiques)

Géométrie -- Informatique

Quadriques

Résumé

Nous nous intéressons à la recherche d’estimateurs pertinents du deuxieme ordre pour les surfaces polyédriques afin d’obtenir des estimateurs locaux de forme. Les estimateurs les plus fréquemment utilisés s’appuient sur la notion de défaut angulaire, mais cette approche présente des limites liées à l’existence d’artéfacts, inexistants dans le cas continu. Il existe en effet des points qui ne sont ni elliptiques, ni hyperboliques, ni paraboliques. Ces points seront appel´es points ´eventails car ils comportent des plis rajoutés à des sommets classiques. L’approximation locale par une quadrique qui est une surface implicite fournit des résultats intéressants et ne nécessite pas de triangulation contrairement au éfaut angulaire. Elle permet ensuite de prendre comme estimateurs discrets les estimateurs différentiels calculés sur la quadrique. Mais elle ne peut cependant fournir que les informations d’une surface continue. De ce fait, il est indispensable d’analyser les résultats obtenus afin de contrôler leur validité. L’approximation par une quadrique conduit à la résolution d’un système linéaire et la définition de la quadrique s’obtient sous forme matricielle, qu’elle soit complète ou réduite. L’analyse a priori que nous conduisons s’intéresse au conditionnement du système, au résidu, aux valeurs singulières, ainsi qu’aux rangs et aux valeurs propres des matrices représentant la quadrique. Ainsi, nous arrivons à détecter les différents cas particuliers qui concernent les configurations particulières des voisins autour du sommet ou des quadriques dégénérées (correspondant essentiellement `a des zones comprenant des plans, fréquentes en modélisation géométrique). Nous détectons aussi les points éventails, ce qui permet de proposer des résultats valides pour les autres types de sommets. Les applications mettant en oeuvre ce travail ont été réalisées en C++ et OpenGL.

We aim at finding pertinent estimators of second order for polyhedral surfaces to obtain shape local estimators. The most frequently used estimators are based on the concept of angular defect, but this approach has limitations related to the existence of artifacts, nonexistent in the continuous case. It actually exists points which are not elliptical nor hyperbolic nor parabolic. These points will be designated as fan points because they are constructed by adding folds to classical vertices. The local approximation by a quadric which is an implicit surface provides interesting results and does not require triangulation unlike the angular defect. It allows to take as discrete estimators the differential estimators calculated on the quadric. But it can not however only provide informations of a continuous surface. It is essential to analyze the obtained results to check their validity. The approximation by a quadric leads to solve a linear system and the definition of the quadric will be obtained in matrix form, complete or reduced. The a priori analysis that we lead focuses on system conditioning, residual, singular values, and the ranks and eigenvalues of matrices representing the quadric. We can detect various particular cases concerning particular configurations of neighbors around the vertex or degenerated quadrics (corresponding mainly to areas including planes, usually encountered in geometric modeling). We also detect the fan points, so that we can offer valid results for other types of vertices. Applications implementing this work have been developed using the C++ language and OpenGL.