Tressages d'espaces de tenseurs

Tensors braidings

• Auteur / Autrice : Thomas Grapperon
• Direction : Oleg Ogievetsky
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique théorique
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul tensoriel

Théorie des noeuds

Théorie des tresses

Yang-Baxter, Équation de

Résumé

Le sujet de cette thèse est l’établissement d’une nouvelle solution de l’équation de Yang-Baxter. Cette équation est présente dans de très nombreux domaines de la physique théorique (systèmes intégrables,mécanique statistique,QISM,. . . ) ou desmathématiques (théorie des noeuds, groupes quantiques,. . . ), mais l’étude de ses solutions est difficile (équations non-linéaires, variables non- commutatives, etc. ). Une solution de l’équation de Yang-Baxter est aussi appelée tressage. Dans une première partie, nous résentons des résultats généraux sur le groupe des tresses et son algèbre de groupe. Nous nous intéressons ensuite aux analogues tressés que l’on peut considérer comme des analogues non-commutatifs de q analogues. Nous présentons entre autres des analogues pour les coefficients binomiaux, les symboles de Pochhammer et les nombres de Fuß- Catalan, ainsi que pour le développent binomial et la convolution de Vandermonde. Ces deux premiers chapitres contiennent des résultats plus ou moins standards et forment l’assise des résultats qui suivent. La définition des nombres de Fuß-Catalan est toutefois originale. Dans une seconde partie, nous abordons les tressages d’espaces de tenseurs. Nous commençons par présenter les équations qui doivent être satisfaites par un tel objet et nous donnons une solution dont nous montrons l’unicité. Dans un dernier chapitre, nous plaçons ce tressage dans un contexte plus général et nous présentons les tressages dits « zébrés » qui prennent en compte une éventuelle cyclicité dans l’ordre des tenseurs sur lesquels ils se projettent. Le contenu de ces deux derniers chapitres est original. Nous fournissons ainsi une nouvelle solution de l’équation de Yang-Baxter et explorons ses propriétés.

The main result of this thesis is the presentation of a new solution of the Yang-Baxter equation. This equation appears in many areas of theoretical physics (integrable systems, statistical mechanics, QISM,. . . ) and of mathematics (knot theory, quantum groups,. . . ), but the study of its solutions is quite difficult (non-linear equations, non commutative variables, etc. ). A solution of the Yang-Baxter equation is also called braiding. In a first part, we present general results about the braid group and its group ring. We then focus on braided analogs which may be seen as non commutative analogs of q-analogs. We present, among other results, analog for binomial coefficients, Pochhammer symbols and Fuß-Catalan numbers, as well as analogs for the standard binomial expansion formula and the Chu- Vandermonde convolution. These two first chapters contain quite standard results and set the basis of the results appearing in the sequel. The part on Fuß-Catalan numbers is original. In a second part, we study tensor braidings. We begin by setting off the systemof equations which must be fulfilled and give a solution. We proove that this solution is unique and we study some of its properties. In a last chapter, we put this solution in a more general framework and present ''striped'' braidings which are taking account of a cyclic pattern on the orders of tensors on which they project. The result contained in these two last chapter is original. We thus present a new solution of the Yang-Baxter equation and explore its properties.