Schémas de subdivision, analyses multirésolutions non-linéaires : Applications

Non-linear subdivision schemes, non-linear multiresolution analysis : Applications

• Auteur / Autrice : Karine, Marjorie, Araxie Dadourian
• Direction : Jacques Liandrat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2008
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Provence. Section sciences

Mots clés

Mots clés contrôlés

Différences finies

Schémas (géométrie algébrique)

Compression d'images

Résumé

Les schémas de subdivisions ont été initialement introduits pour construire par itération, des courbes ou des surfaces à partir de points de contrôle. Ils sont apparus comme étant un ingrédient de base dans la définition d’analyses multirésolutions, avec comme application l’approximation et la compression des images. Dans la construction de courbes ou dans la compression d’images, la convergence du schéma de subdivision vers une fonction continue, la régularité de cette fonction, la stabilité et l’ordre du schéma sont des propriétés cruciales. Les schémas linéaires présentant une importante limitation (ils créent des oscillations au voisinage de forts gradients ou de discontinuité qui se traduit par des zones de flous près des contours dans la compression d’images), on s’est alors intéressé à des schémas non-linéaires. S’inscrivant dans la lignée des théories concernant les schémas non- linéaires, on a développé dans ce travail des théorèmes de convergence, de régularité, de stabilité et d’ordre pour une classe de schémas non-linéaires s’écrivant sous la forme d’une somme d’un schéma linéaire et d’une perturbation non-linéaire. Nous avons ensuite appliqué ces résultats à l’étude de propriétés de schémas non-linéaires existants, ou que nous avons contruits pour répondre au problème d’oscillations ou aux problèmes de régularité. NUne première application concerne la compression d’images. On s’est proposé d’étudier la stabilité nde l’analyse multirésolution bidimensionnelle associée à cette classe de schémas non-linéaires, puis d’appliquer les théorèmes établis et d’observer numériquement, les bénifices obtenus par rapport à des analyses multirésolutions linéaires. Enfin, une deuxième application concerne la construction d’opérateurs aux différences finies ayant une erreur homogène sur des grilles non-uniformes, à partir un opérateur donné et d’un schéma de subdivision.

Subdivision schemes were initially introduced for the iterative construction of curves or surfaces starting from control points. It is a basic ingredient in the definition of multiresolution analyses, with applications in approximation and compression of images. In the construction of curves, surfaces or in image compression, the convergence of the scheme towards a continuous function, the regularity of this function, the stability and the order of the scheme are crucial properties. Linear schemes presenting an important limitation (they create oscillations in the vicinity of strong gradients which results of blurred zones close to contours in image compression), we have considered non-linear schemes written as a non-linear perturbation of a linear scheme. For this class of non-linear scheme, we have established convergence, regularity, stability theorems. These results have been applied to various non-linear schemes (pre-existing schems or schemes that we have built to answer precise problems). Next, we have been interested in application of this theory to images compression. The analysis of the 2d multiresolution analysis associated to this class of schemes (stability and application) has been performed. A second application deals with the construction of finite difference operators adapted to irregular grids, coupling subdivision schemes and finite difference operators.