Sur la géométrie des espaces de modules d'instantons de variétés à forme d'intersection définie négative

par Konrad Philipp Schöbel

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Andrei Teleman.

Soutenue en 2008

à Aix-Marseille 1 .

mots clés

• Instantons
• Variétés topologiques à 4 dimensions

Résumé

L’´etude d’espaces de modules d’instantons a conduit `a des r´esultats r´evolutionnaires dans la g´eom´etrie des vari´et´es en dimension quatre, puisqu’ils constituent la base de la construction des invariants polynomiaux de Donaldson. Cette construction ´echoue lorsque la vari´et´e de base est `a forme d’intersection d´efinie n´egative, car dans ce cas les espaces de modules contiennent des solutions r´eductibles - points singuliers en g´en´eral. Cette th`ese est donc consacr´ee `a l’´etude de la g´eom´etrie des espaces de modules d’instantons pour les vari´et´es `a forme d’intersections d´efinie n´egative. Dans une premi`ere partie la topologie et la g´eom´etrie Riemannienne sont d´ecrites autour du lieu r´eductible. Dans la deuxi`eme partie, des exemples explicites sont calcul´es pour toutes les surfaces complexes minimales de la classe VII `a deuxi`eme nombre de Betti un et par rapport `a toute m´etrique de Gauduchon possible.

Titre traduit

On the geometry of instanton moduli spaces for manifolds with negative definitive intersection form

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Résumé

The study of instanton moduli spaces has lead to striking results in the geometry of four-manifolds, for they constitute the base of the construction of Donaldson’s polynomial invariants. This construction fails when the base manifold has negative definite intersection form, since in this case the moduli spaces contain reducible solutions - in general singular points. This thesis is therefore concerned with the study of the geometry of instanton moduli spaces for manifolds with negative definite intersection form. In a first part, the topology and the Riemannian geometry near the reducible locus are described. This leads to an independent topological condition for a possible construction of differential topological invariants. In a second part, explicit examples for all minimal complex surfaces of class VII with second Betti number one are given with respect to all possible Gauduchon metrics.