Non-linéarité des fonctions booléennes : applications de la théorie des fonctions booléennes et des codes en cryptographie

Nonlinearity of boolean functions : cryptographic applications of boolean functions and coding theory

• Auteur / Autrice : Julien Bringer
• Direction : Philippe Langevin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Toulon
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université du Sud Toulon-Var. UFR de Sciences et Techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Patterson, Fonction de

Fonctions gaussiennes

Systèmes d'identification par radiofréquence

Codage

Théories non linéaires

Cryptographie

Fonctions booléennes

Résumé

Cette thèse s'articule principalement autour de la théorie des codes et des fonctions booléennes liés à la cryptographie. Deux axes sont suivis : la première partie est dédiée à la non-linéarité des fonctions booléennes, alors que la deuxième partie présente des applications en cryptographie d'objets provenant de ces théories. Motivé par la conjecture de Patterson et Wiedemann, nous proposons une généralisation de la construction par réunions d'orbites suivant l'action d'un groupe, où la minimisation de l'amplitude spectrale se ramène à deux sous-problèmes que nous étudions : l'estimation de sommes de Gauss et l'estimation de sommes d'exponentielles incomplètes. Plusieurs conditions et pistes de résolution de la conjecture sont alors détaillées. Ce travail nous permet de construire a sympto tique ment des fonctions de non-linéarité plus élevée que la moyenne et nous obtenons de plus, suivant ce principe, un exemple de recollement quadratique hautement non-linéaire proche de la borne de Patterson et Wiedemann en dimension 15. Dans la deuxième partie, nous portons tout d'abord notre attention sur des protocoles cryptographiques dits à faibles ressources. Des fonctions booléennes résistantes à la cryptanalyse différentielle sont utilisées afin de protéger le protocole HB+ d'une attaque par le milieu. À partir d'un deuxième protocole basé sur un principe de bruitage, nous effectuons un parallèle avec la théorie du canal à jarretière de Wyner, ce qui permet d'accroître la sécurité. D'autre part, dans le cadre de l'authentification de données variables dans le temps, une adaptation du cryptosystème de McEliece est détaillée afin de contrôler l'accès aux fonctions de vérification.

This thesis mainly focuses on coding theory and boolean functions which are connected with cryptography. Two research's trends are followed: the first part is dedicated to the nonlinearity of boolean functions whereas the second one shows cryptographic applications of objects coming from these theory. Interested in Patterson and Wiedemann's conjecture, we propose to generalize their construction based on union of orbits under the action of a group from which the determination of the minimum spectral magnitude reduces to two sub-problems that we intensely study: the evaluation of Gauss sums and the estimation of some partial exponential sums. Several conditions and ideas which may help to confirm the conjecture are thus detailed. This work allows us to construct functions with a nonlinearity greater than the asymptotic mean. Moreover, thanks to this technique, we obtain an example of a quadratic spread which is highly nonlinear and close to the Patterson and Wiedemann bound in IS variables. In the second part, we first turn our attention to the field of lightweight cryptographic protocols. Boolean functions with specific resistance to differential cryptanalysis are introduced in the HB+ protocol to strengthen it against man-in-the-middle attacks. Starting from a second protocol using the idea of background noise, we exploit the link with the wiretap channel theory of Wyncr to show how to increase the security. At last we deal with authentication of noisy data and secure sketches in which a modification of the McEliece's cryptosystem is explained in order to restrict the access to checking functions.