Singular links Floer and restricted Khovanov homologies

• Auteur / Autrice : Benjamin Audoux
• Direction : Thomas Fiedler
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Invariants

Théorie des noeuds

Homologie

Mots clés libres

Mathématiques

Topologie en petite dimension

Théorie des Noeuds

Catégorification

Entrelacs singuliers

Entrelacs restreints

Homologie de Heegaard-Floer

Homologie de Khovanov

Résumé

La catégorification d'un invariant polynomial d'entrelacs I est un invariant de type homologique dont la caractéristique d'Euler gradue est égale à I. On pourra citer la catégorification originelle du polynôme de Jones par M. Khovanov ou celle du polynôme d'Alexander par P. Ozsvath et Z. Szabo. Outre leur capacité accrue à distinguer les noeuds, ces nouveaux invariants de type homologique semblent drainer beaucoup d'informations d'ordre géométrique. D'autre part, suite aux travaux de I. Vassiliev dans les années 90, un invariant polynomial d'entrelacs peut être étudié à l'aune de certaines propriétés, dites de type fini, de son extension naturelle aux entrelacs singuliers, c'est-à-dire aux entrelacs possédant un nombre fini de points doubles transverses. La première partie de cette thèse s'intéresse aux liens éventuels entre ces deux procédés, dans le cas particulier du polynôme d'Alexander. Dans cette optique, nous donnons d'abord une description des entrelacs singuliers par diagrammes en grilles. Nous l'utilisons ensuite pour généraliser l'homologie de Ozsvath et Szabo aux entrelacs singuliers. Outre la cohérence de sa définition, nous montrons que cet invariant devient acyclique sous certaines conditions annulant naturellement sa caractéristique d'Euler. Ce travail s'insère dans un programme plus vaste de catégorification des théories de Vassiliev. Dans une seconde partie, nous nous proposons de raffiner l'homologie de Khovanov aux entrelacs restreints. Ces derniers correspondent aux diagrammes d'entrelacs quotientés par un nombre restreint de mouvements de Reidemeister. Les tresses fermées apparaissent notamment comme sous-ensemble de ces entrelacs restreints. Un tel raffinement de l'homologie de Khovanov offre donc un nouvel outil pour une étude plus ciblée des noeuds et de leurs déformations.

A categorification of a polynomial link invariant is an homological invariant which contains the polynomial one as its graded Euler characteristic. This field has been initiated by Khovanov categorification of the Jones polynomial. Later, P. Ozsvath and Z. Szabo gave a categorification of Alexander polynomial. Besides their increased abilities for distinguishing knots, this new invariants seem to carry many geometrical informations. On the other hand, Vassiliev works gives another way to study link invariant, by generalizing them to singular links i. E. Links with a finite number of rigid transverse double points. The first part of this thesis deals with a possible relation between these two approaches in the case of the Alexander polynomial. To this purpose, we extend grid presentation for links to singular links. Then we use it to generalize Ozsvath and Szabo invariant to singular links. Besides the consistency of its definition, we prove that this invariant is acyclic under some conditions which naturally make its Euler characteristic vanish. This work can be considered as a first step toward a categorification of Vassiliev theory. In a second part, we give a refinement of Khovanov homology to restricted links. . .