Dynamique de marcheurs aléatoires en interaction : applications aux particules browniennes autogravitantes, à la condensation de Bose-Einstein, à la turbulence en déclin et aux marcheurs aléatoires en présence de pièges

Dynamics of random walkers in interaction

• Auteur / Autrice : Julien Sopik
• Direction : David S. Dean, Clément Sire
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique de la matière
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien, Processus de

Processus stochastiques

Dynamique

Collisions (physique)

Condensation de Bose-Einstein

Mots clés libres

Processus stochastiques

Processus hors-équilibre

Dynamique non linéaire

Systèmes autogravitants

Condensation de Bose-Einstein

Turbulence bidimensionnelle

Marche aléatoire en présence de pièges

Stochastic processes

Out-of-equilibrium processes

Non linear dynamics

Self-gravitating systems

Bose-Einstein condensation

Two-dimensional turbulence

Random walks with traps

Résumé

Cette thèse est dédiée à l'étude des propriétés dynamiques de quelques systèmes de marcheurs aléatoires en interaction. Dans la première partie de ce manuscrit, nous étudions un modèle de particules browniennes autogravitantes. Dans ce modèle, les particules évoluent à température constante ce qui correspond à une description canonique de systèmes autogravitants. Lorsque la température est supérieure à une certaine température critique, il existe des états d'équilibre métastables. Par contre, en dessous de cette température critique, le système s'effondre pour former un pic de Dirac. Il a été montré que le modèle de particules browniennes autogravitantes partage de nombreuses analogies avec la chimiotaxie des populations biologiques. Dans ce travail de thèse, on s'intéresse à la généralisation de ces résultats au cas multi-espèce, dans lequel les particules peuvent avoir des masses différentes. Par ailleurs, on étudie les transitions de phase entre états gazeux et états condensés pour un modèle de particules browniennes autogravitantes (ou de son analogue biologique) autour d'un corps central. De plus, on montre que le modèle de particules browniennes autogravitantes présente des analogies avec la condensation de Bose-Einstein pour des bosons libres fortement couplés à un bain thermique. Ce modèle correspond à une description canonique (température fixée) de la condensation de Bose-Einstein. Le couplage entre un bain thermique et un système de bosons libres introduit une interaction effective entre les bosons. Celle-ci les force à se condenser dans leur état fondamental lorsque la température du bain est inférieure ou égale à une certaine température critique. On étudie alors les solutions de l'équation de Fokker-Planck bosonique associée à ce problème qui conduisent à la formation d'un pic de Dirac, modélisant le condensat. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous intéressons à la turbulence bidimensionnelle en déclin. La turbulence bidimensionnelle possède l'étonnante propriété de générer un ensemble de structures cohérentes, les tourbillons (ou vortex). Si le système turbulent est laissé libre (sans forçage externe), le fluide turbulent décline par l'effet des processus de mélange des tourbillons de même signe. . .

This thesis is dedicated to the study of the dynamical properties of various systems of interacting random walkers. In the first part of this manuscript, we study a model of self-gravitating Brownian particles. In this model, the particles evolve at fixed temperature. This corresponds to a canonical description of self-gravitating systems. When the temperature is above a certain critical temperature, metastable equilibrium states exist. By contrast, below this critical temperature, the system collapses and forms a Dirac peak. It has been shown that the model of self-gravitating Brownian particles shares numerous analogies with the chemotaxis of biological populations. In this thesis, we generalize these results to the multi-component case, in which the particles can have different masses. In addition, we study the phase transitions between gaseous states and condensed states for a model of self-gravitating Brownian particles (or its biological analog) around a central body. Moreover, we show that the model of self-gravitating Brownian particles exhibits many analogies with the Bose-Einstein condensation of free bosons strongly coupled with a thermal bath. This model corresponds to a canonical description (fixed temperature) of the Bose-Einstein condensation. The coupling between a thermal bath and a system of free bosons induces a effective interaction between the bosons. This one forces them to condensate in their fundamental state when the temperature is less than a certain critical temperature. We then study the solutions of the bosonic Fokker-Planck equation of this problem which leads to the formation of a Dirac peak, modeling the condensate. In the second part of this thesis, we study the freely decaying two-dimensional turbulence. Two-dimensional turbulence has the striking property to generate a set of coherent structures called vortices. If the turbulent system evolves freely (without any external forcing), the turbulent fluid decays due to the merging processes of like-sign vortices. Some studies have shown that two-body merging processes are dominant for large vortex densities whereas there are inefficient at very low density: in this case, the evolution is dominated by three-body processes. . .