Equations aux différences et scission de séparatrices

Difference equations and splitting of separatrices

• Auteur / Autrice : Hocine Sellama
• Direction : Reinhard Schäfke
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Université Louis Pasteur (Strasbourg) (1971-2008)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs linéaires

Variétés (mathématiques)

Équations aux différences

Mots clés libres

Equation logistique

Equation du pendule

Résumé

Nous avons étudié l'influence de la discrétisation d'une équation différentielle sur les variétés stables et instables dans deux exemples concrets : l'équation logistique et l'équation du pendule. L'équation logistique est équivalente à un système qui admet deux points selles A et B. Il est connu que la variété stable en A coïncide avec la variété instable en B. En améliorant des résultats antérieures de A. Fruchard et R. Schäfke, nous montrons que les deux variétés ne coïncident plus pour l'équation discrétisée. La démonstration est basée sur une modification d'une approche développée par R. Schäfke et H. Volkmer. La deuxième partie est consacrée à une étude analogue concernant l'équation du pendule et de sa discrétisation. Des résultats similaires ont été obtenus par Lazutkin et al. , mais la preuve que nous avons utilisée est complètement différente.

The purpose of this dissertation is to study how the discretization of a differential equation affects, the stable and unstable manifolds in two concrete examples: the logistic equation and the pendulumequation. The logistic equation is equivalent to a system with two fixed points A and B. It is known that the stable manifolds at A coincides with the unstable manifold at B. By improving some results of A. Fruchard and R. Schäfke, we show that the two manifolds do not coincide any more in the discretezed equation. The proof is a modification of an approach introduced by R. Schäfke and H. Volkmer. The second part of the thesis is dedicated to an analogous study regarding the pendulum equation and its discretization (Standard mapping). Similar results were obtained by Lazutkin et al. , but our proof is completely different.