Convergence de schémas numériques pour des problèmes d'impact

Convergence of numerical scheme for impact problem

• Auteur / Autrice : Raoul Dzonou Nganjip
• Direction : Laetitia Paoli, Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Saint-Etienne

Mots clés

Mots clés contrôlés

Élasticité

Impact

Modèles mathématiques

Vibrations

Résumé

Nous nous intéressons dans le cadre de cette thèse à la résolution d'un problème non linéaire, plus précisément nous étudions la dynamique d'un système mécanique ayant un nombre fini d de degrés de liberté sur un intervalle de temps I = [0, T], T >0 et soumis à une contrainte unilatérale parfaite sans frottement sec. En faisant l'hypothèse d'un choc dissipatif i. E la non décroissance de l'énergie cinétique, nous adoptons une loi d'impact de type Newton paramétrée par un coefficient de restitution e Є [0,1] et qui se caractérise par la conservation de la composante tangentielle du vecteur vitesse par rapport à la métrique cinétique alors que la composante normale est renversée et multipliée par le coefficient de restitution. A l'aide de la formulation du problème proposée par J. J. Moreau sous la forme d'une inclusion différentielle au sens des mesures, nous établissons la convergence d'un algorithme de type »sweeping process » vers une solution du problème d'impact ce qui permet en même temps d'obtenir un résultat d'existence local. En effet, dans le premier chapitre, nous considérons un problème de contact unilatéral inélastique (e = 0) sans frottement sec avec un opérateur d'inertie non trivial. A l'aide d'un schéma numérique nous construisons une suite de vitesses et de positions approchées ce qui nous permet d'établir un résultat de convergence local qui constitue en même temps un théorème d'existence. Dans le deuxième chapitre, nous considérons un problème de contact unilatéral partiellement élastique (e Є [0,1]) avec un opérateur d'inertie non trivial et des hypothèses moins restrictives sur les données : nous construisons une fois de plus une suite de positions approchées et une suite vitesses approchées qui convergent localement vers une solution du problème. Ensuite nous établissons un résultat de convergence global. Dans le troisième chapitre, une illustration des résultats est faite avec l'étude d'un problème modèle : le double pendule. Nous comparons le schéma numérique développé dans les précédents chapitres à un algorithme de détection des impacts

The dynamics of systems with a finite number of degrees of freedom and non trivial inertia matrix which are submitted to a single perfect unilateral constraint is studied. The local impact law consists in the transmission of the tangential component of the velocity and the reflexion of the normal component which is multiplied by the restitution coefficient e Є [0,1]. By adopting the measure-differential formulation of J. J. Moreau, a velocity-based time-stepping method is developed, reminiscent of the catching-up algorithm for sweeping processes. It is shown that the numerical solutions converge to a solution of the problem