Champs algébriques et foncteur de Picard

Picard functor and algebraic stacks

• Auteur / Autrice : Sylvain Brochard
• Direction : Laurent Moret-Bailly
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Rennes 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes algébriques

Cohomologie

Schémas en groupes

Picard, Groupes de

Picard, Schémas de

Résumé

Le foncteur de Picard d'un schéma a fait l'objet d'une étude approfondie dans les années soixante. La décennie suivante a vu naître avec les travaux de Giraud puis Deligne, Mumford, et enfin Artin la notion de champ algébrique, qui généralise celle de schéma. Nous nous intéressons dans cette thèse au foncteur de Picard d'un champ algébrique et démontrons à son sujet un certain nombre de résultats bien connus dans le cadre des schémas. Nous étudions entre autres la représentabilité du foncteur de Picard, ses propriétés de séparation, de finitude relative, et les déformations de faisceaux inversibles. Nous construisons également la composante neutre du foncteur de Picard et étudions sa propreté. Quelques exemples viennent étayer le propos. Ces travaux nous ont amené à résoudre un certain nombre de problèmes techniques relatifs à la cohomologie des faisceaux abéliens sur le site lisse-étale d'un champ algébrique. Ces questions ont été rassemblées en annexe en fin de volume.

The Picard functor of a scheme has been studied extensively in the 60's. However, the work of Giraud, Deligne, Mumford and Artin gave birth in the 70's to the notion of an algebraic stack, which generalizes that of a scheme. We study in this thesis the Picard functor of an algebraic stack and generalize in this context some results that are well-known for the case of schemes. In particular we study the following points: deformation theory of invertible sheaves, representability of the Picard functor, construction and properness of the connected component of the identity, separation properties. We illustrate the thesis with some examples. We were also led to review the lisse-etale cohomology of an algebraic stack and proved a lot of technical details about it, put together in an appendix.