La complexité de la relation d'isomorphisme pour les modèles dénombrables d'une théorie oméga-stable

Complexity of the isomorphism relation for countable models of omega-stable theories

• Auteur / Autrice : Martin Koerwien
• Direction : Élisabeth Bouscaren
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Logique et fondements de l'informatique
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 7

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Logique mathématique

Théorie des modèles

Ensembles boréliens

Résumé

Nous comparons deux notions bien établies de complexité de la classe des modèles dénombrables d'une théorie, l'une issue de la théorie des modèles, la profondeur d'une théorie ω-stable et l'autre introduite en théorie des ensembles descriptive, la réductibilité Borélienne. Dans le cas d'une théorie ω-stable nous montrons d'abord qu'une variante de la NDOP adaptée au cas des modèles dénombrables, la ENI-NDOP, permet de décomposer les modèles dénombrables en des arbres de modèles "minimaux", ce qui nous amène à travailler avec la variante correspondante de la profondeur, la eni-profondeur. C. Laskowski et S. Shelah ont récemment démontré qu'une théorie ω-stable qui n'a pas la ENI-NDOP ou qui a la ENI-NDOP mais est eni-profonde, a une relation d'isomorphisme de complexité maximale (au sens de la réductibilité Borélienne). Dans le cas où une théorie a moins de 2No modèles dénombrables ou est de eni-profondeur 1, nous montrons que la relation d'isomorphisme est de complexité triviale ("lisse"). Ensuite, nous construisons une suite (Tα)1≤α<ω de théories w-stables avec la ENI-NDOP où les deux notions de complexité coïncident : Tα est de eni-profondeur α et la suite des relations d'isomorphisme est strictement croissante (et cofinale dans un certain sens) par rapport à la réductibilité Borélienne. Nous terminons par un résultat qui montre que le rapport entre ces notions est moins étroit qu'on pourrait l'imaginer. Il existe une théorie de eni-profondeur 2 avec une relation d'isomorphisme très compliquée : elle n'est pas Borélienne

We compare two well-known notions of complexity for classes of countable models of a given theory. On the one hand the model theoretic notion of depth of an ω-stable theory and on the other hand a notion coming from descriptive set theory called Borel reducibility. In the case of ω-stable theories, we show that a variant of the property NDOP, adapted to the case of countable theories, the ENI-NDOP, suffices to decompose countable models by trees of "minimal" models, which leads us to the corresponding notion of eni-depth, instead of depth. C. Laskowski and S. Shelah have recently shown that an ω-stable theory which either does not have the ENI-NDOP or is eni-deep, has an isomorphism relation of maximal complexity (in the sense of Borel reducibility). If a theory either has less than 2No countable models or has the ENI-NDOP and is of eni-depth 1, we show that the isomorphism relation has trivial complexity (it is "smooth"). Then, we construct a sequence (Tα)i<α<<ω1 of ω-stable theories having ENI-NDOP where thé two notions of complexity coïncide : Tα has eni-depth α and the sequence of isomorphism relations is strictly increasing (and cofinal in some sense) with respect to Borel reducibility. Finally, we show a resultat which implies that the relationship between these two notions is less close than it might seem at first. There exists a theory of eni-depth 2 which has a very complicated isomorphism relation : it is not Borel.