Diffusions in random environments and multi-excited random walks

• Auteur / Autrice : Arvind Singh
• Direction : Yueyun Hu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés libres

Diffusions

Marches aléatoires

Milieux aléatoires

Marches multi-excitées

Processus stable et de Lévy

Régimes de transcience

Résumé

Ce travail comprend cinq articles et porte sur l'étude de quelques propriétés des diffusions en milieux aléatoires et des marches multi-excitées. Dans la première partie, nous considérons le modèle de la diffusion aléatoire dans un potentiel aléatoire ainsi que son analogue discret : la marche aléatoire en milieu aléatoire. On étudie, dans le cas récurrent, le comportement asymptotique presque sûr de ces processus lorsque le potentiel sous-jacent est dans le domaine d'attraction d'un processus stable. On caractérise ensuite les différents régimes de croissance d'une diffusion transiente lorsque son potentiel est un processus de Lévy sans sauts positifs. Dans la seconde partie, nous étudions le modèle récent de la marche multi-excitée. Nous établissons en particulier un critère permettant de déterminer si la vitesse asymptotique de la marche est strictement positive. Nous caractérisons de plus, dans le cas d'une vitesse nulle, tous les régimes de transience possibles.

This work brings together five articles concerning the study of diffusions processes in random potentials and multi-excited random walks. In the first part of this thesis, we consider the model of the diffusion in a random potential and its discrete time analogue : the random walk in a random environment. We study, in the recurrent setting, the almost sure behavior of those processes when the driving potential is in the domain of attraction of a stable law. We also characterize the rates of growth of a transient diffusion in a spectrally negative Lévy potential. In the second part of this thesis, we study the recent model of the multi-excited random walk. In particular, we exhibit a criterion to decide whether or not the limiting speed of the walk is zero. We also characterize, in the zero speed region, all the possible rates of transience of the walk.