Etude asymptotique et multiplicité pour l'équation de Sobolev Poincaré

Asymptotics and multiplicity for the Sobolev Poincaré equation

• Auteur / Autrice : Marie Dellinger
• Direction : Michel Vaugon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés libres

Riemannien

Elliptique

Sobolev-Poincaré

Multiplicité

Isométries

Concentration

Résumé

Sur une variété riemannienne compacte (M,g) de dimension n>2, soit u une solution faible positive de l'équation à exposant critique (E) Dg u + a S(u) ||u||_1 = f u^{(n+2)/(n-2)}, où Dg est le g-laplacien, a>0, f une fonction continue et S(u) une fonction bornée valant 1 sur {u>0} et 0 dans l'intérieur de {u=0}. Pour f fixée, nous décrivons le comportement asymptotique d'une suite de solutions positives lorsque le réel a varie, grâce à une analyse fine de phénomènes de concentration. Puis, en imposant des invariances par des isométries, nous montrons des résultats de multiplicité de solutions positives pour (E), pour les problèmes de Yamabe et de Nirenberg et pour des équations à exposant sur-critique. Notre travail est intimement lié à la notion de meilleures constantes dans une inégalité issue de l'inclusion critique de l'espace de Sobolev dans L^{2n/(n-2)} et de l'inégalité de Poincaré.