Pénalisations de marches aléatoires

Penalization of random walks

• Auteur / Autrice : Pierre Debs
• Direction : Bernard Roynette
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/11/2007
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan Nancy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Bertoin, Dominique Lépingle, Bernard Roynette, Pierre Vallois, Michel Emery, Marc Yor
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Michel Emery, Marc Yor

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mouvement brownien

Processus de naissance et de mort (processus stochastiques)

Marches aléatoires (mathématiques)

Mots clés libres

Temps de séjour

Formule de Dynkin

Chaînes et processus de Bessel

Changement de probabilité

Résumé

Le sujet de ma thèse est la théorie de la pénalisation, développée originalement par B .Roynette, P. Vallois et M. Yor dans le cas du mouvement brownien. En quelques mots, cela consiste à favoriser des trajectoires de mesure nulle en mettant un poids sur la mesure de probabilité. La première partie de ma thèse est la contrepartie discrète de leur travail: Soit (Omega,(Xn,,n>=0),Fn,n>=0, P) la marche aléatoire symétrique où Fn est la filtration canonique. Pour des fonctionnelles positives et adaptées G:N*Omega->R+, j'étudie pour tout n dans N, pour tout An dans Fn, la limite quand p tend vers l'infini de la quantité: Ex[An Gp] / Ex[Gp] Quand cette limite existe, elle est égale à Q(An):=Ex[An Mn] où (Mn,n>=0) est une martingale positive non uniformément intégrable. La définition de Q induit une nouvelle probabilité sur (Omega,F) et on étudie alors (Xn,n>=0) sous Q. Dans une seconde partie, j'essaye d'étendre cette théorie à un processus de naissance et de mort. Rappelons que ces processus ont la propriété de ne changer d'état que vers les états les plus proches et cela après un temps aléatoire exponentiel. Plus précisément, je pénalise un processus de naissance et de mort transient par le nombre de visites dans l'état 0 (ce qui est comme une pénalisation par le temps local). Quand je force ce processus à visiter une infinité de fois l'état 0, je prouve que, sous la nouvelle mesure de probabilité induite par pénalisation, le processus se comporte comme un processus de naissance et de mort récurrente.

The subject of my thesis is the theory of penalisation originaly developed by B .Roynette, P. Vallois and M. Yor in the case of the brownian motion. In a few words, it consists in putting a weight on the probability measure to favorise trajectories with probability measure equals to zero. The first part of my thesis is the discrete counterpart of their work : let (Omega,(Xn,,n>=0),Fn,n>=0, P) the symmetric random walk and Fn is the canonical filtration. For some adapted and positive functionals G:N*Omega->R+, I study for all n in N, for all An in Fn, the limit when p goes to infinity of the quantity: Ex[An Gp] / Ex[Gp] When this limit exists, it is equal to Q(An):=Ex[An Mn] where (M_n,n>=0) is a positive non uniformly integrable martingale. The definition of Q induces a new probability on (Omega, F) and then I study (Xn,n>=0) under Q. In a second part, I try to expend this theory to birth and death Markov processes. Recall that these processes have the property that, after an exponential random length of time, only transitions to neighbouring states are possible. Precisely, I penalize the distribution of the transient birth and death process by the number of visits at the state 0 (which is like local time type penalization). When I force the process to visit an infinitely often the state zero, I prove that, under the new probability measure induced by penalization, the process behaves as a recurrent birth and death process.