Thèse soutenue

Pénalisations de marches aléatoires

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Auteur / Autrice : Pierre Debs
Direction : Bernard Roynette
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 09/11/2007
Etablissement(s) : Nancy 1
Ecole(s) doctorale(s) : IAEM Lorraine
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan Nancy
Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Bertoin, Dominique Lépingle, Bernard Roynette, Pierre Vallois, Michel Emery, Marc Yor
Rapporteurs / Rapporteuses : Michel Emery, Marc Yor

Résumé

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Le sujet de ma thèse est la théorie de la pénalisation, développée originalement par B .Roynette, P. Vallois et M. Yor dans le cas du mouvement brownien. En quelques mots, cela consiste à favoriser des trajectoires de mesure nulle en mettant un poids sur la mesure de probabilité. La première partie de ma thèse est la contrepartie discrète de leur travail: Soit (Omega,(Xn,,n>=0),Fn,n>=0, P) la marche aléatoire symétrique où Fn est la filtration canonique. Pour des fonctionnelles positives et adaptées G:N*Omega->R+, j'étudie pour tout n dans N, pour tout An dans Fn, la limite quand p tend vers l'infini de la quantité: Ex[An Gp] / Ex[Gp] Quand cette limite existe, elle est égale à Q(An):=Ex[An Mn] où (Mn,n>=0) est une martingale positive non uniformément intégrable. La définition de Q induit une nouvelle probabilité sur (Omega,F) et on étudie alors (Xn,n>=0) sous Q. Dans une seconde partie, j'essaye d'étendre cette théorie à un processus de naissance et de mort. Rappelons que ces processus ont la propriété de ne changer d'état que vers les états les plus proches et cela après un temps aléatoire exponentiel. Plus précisément, je pénalise un processus de naissance et de mort transient par le nombre de visites dans l'état 0 (ce qui est comme une pénalisation par le temps local). Quand je force ce processus à visiter une infinité de fois l'état 0, je prouve que, sous la nouvelle mesure de probabilité induite par pénalisation, le processus se comporte comme un processus de naissance et de mort récurrente.