Algorithmes exacts et exponentiels pour les problèmes NP-difficiles : domination, variantes et généralisations

Excat exponential time algorithms for NP-hard problems : domination, variants and generalizations

• Auteur / Autrice : Mathieu Liedloff
• Direction : Dieter Kratsch
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 07/12/2007
• Etablissement(s) : Metz
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LITA - Laboratoire d'Informatique Théorique et Appliquée - EA 3097
• Jury : Président / Présidente : Maurice Margenstern
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre Fraigniaud, Michel Habib, Rolf Niedermeier, John Michael Robson, Peter Rossmanith

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algorithmes

Mots clés libres

Problèmes NP-complets

Algorithmes

Résumé

Les premiers algorithmes exacts exponentiels pour résoudre des problèmes NP-difficiles datent des années soixante. Ces dernières années ont vu un intérêt croissant pour la conception de tels algorithmes tout comme pour l'amélioration de la précision de l'analyse de leur temps d'exécution. Ils sont motivés par les larges applications de problèmes réputés difficiles et qui, sous l'hypothèse P 6= NP, n'admettent pas d'algorithme polynomial en calculant une solution exacte. Dans cette thèse on s'intéresse au problème classique de la domination dans un graphe. On étudie également plusieurs variantes et généralisations de ce problème fondamental. Nous proposons des algorithmes exponentiels pour déterminer un ensemble dominant de taille minimum sur les graphes c-denses, cordaux, 4-cordaux, faiblement cordaux, cercles et bipartis. Puis, nous étudions le problème de la clique dominante qui demande de trouver un ensemble dominant qui soit aussi une clique du graphe. Nous proposons un algorithme Brancher & Réduire qui détermine une clique dominante de taille minimum. L'analyse du temps d'exécution est réalisée en utilisant la technique Mesurer pour Conquérir. Nous donnons ensuite un algorithme général pour énumérer tous les ensembles ( %)-dominants d'un graphe en temps O(cn), avec c < 2, sous certaines conditions sur les ensembles et %, et établissons une borne supérieure combinatoire sur leur nombre. Finalement, nous nous intéressons à un problème de domination partielle et obtenons un algorithme pour le problème de la domination romaine. Grâce à un algorithme basé sur le paradigme de la Programmation Dynamique, nous proposons un algorithme pour le problème de la domination avec des puissances variables

The first exact exponential-time algorithms solving NP-hard problems date back to the sixties. The last years have seen an increasing interest for designing such algorithms as well as analysing their running time. The existence of many applications of well known hard problems is one of the main motivations. Moreover, under the hypothesis P 6= NP, apolynomial time algorithm for these problems does not exist. In this thesis, we deal with the classical domination problem in graphs. We are also interested in some variants and generalizations of this fondamental problem. We give exponential-time algorithms for computing a minimum dominating set on c-dense graphs, chordal graphs, 4-chordal graphs, weakly chordal graphs, circle graphs and bipartite graphs. Then, we study the dominating clique problem requiring to find a minimum dominating set inducing a clique of the graph. We provide a Branch & Reduce algorithm computing a minimum dominating clique. The analysis of the running time is done by using the Measure and Conquer technique. Afterwards, we propose a general algorithm for enumerating all (%)-dominating sets of a graph in time O(cn), with c < 2, under some assumptions on the sets and %. Subsequently, we establish a combinatorial upper bound on the number of such sets in a graph. Finally, we consider a partial dominating set problem and we give an algorithm for solving the Roman domination problem. Using the dynamic programming paradigm, we obtain an algorithm for the domination problem with flexible powers