Comportement asymptotique de processus utilisés en fiabilité dynamique

Asymptotic behaviour of processes used in dynamic reliability

• Auteur / Autrice : Margot Desgrouas
• Direction : Christiane Cocozza-Thivent
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Université de Marne-la-Vallée (1991-2019)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Fiabilité

Calculs numériques

Markov, Processus de

Résumé

En fiabilité dynamique, un système est représenté par un couple de variables aléatoires (It,Xt) où It représente les états discrets du système comme les différents états de marche et de panne, et Xt décrit des variables physiques ou environnementales influençant les changements d’état discret. Entre deux changements d’état, l’évolution de la variable environnementale est déterminée par une équation différentielle. Ces processus se classent dans la famille des processus de Markov déterministes par morceaux (ou Piecewise Deterministic Markov Processes : PDMP). Cette thèse a pour objet l’étude du comportement asymptotique (convergence, existence et unicité d’une loi stationnaire) de ces processus. Pour réaliser ce travail, nous nous intéressons tout d’abord aux théories existantes permettant d’étudier le régime asymptotique, pour ensuite donner des résultats propres à la fiabilité dynamique en adaptant la théorie qui semble la plus appropriée. Nous nous intéressons dans un second temps au calcul de cette loi stationnaire. Nous voyons que dans de nombreux cas, il est difficile, voir impossible, de la déterminer explicitement. Pour approcher cette loi, nous proposons une méthode numérique déterministe basée sur une méthode de volumes finis

In dynamic reliability, a system is represented by a couple of random variables (It,Xt), where It stands for the discrete state of the system such as up or down state, and Xt stands for physical or environmental variables which influence jumps between discrete states. Between jumps, the evolution of the environmental variable is specified by a differential equation. Such processes (It,Xt) belong to the family of Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMP). The aim of this thesis is the study of the asymptotic behaviour of these processes (convergence, existence and uniqueness of a stationary distribution). To carry out this work, we are first interested in existing theories which allow the study of the asymptotic behaviour and next, in providing specific results for dynamic reliability, by adapting the theory which seems the most appropriate. In a second time, we are interested in the computation of the stationary distribution. In a lot of cases, we can see that it is hard and even impossible to get an explicit expression for It. In order to get an approximation for this distribution, we propose a determinist numerical method based on a finite volume scheme