Une étude combinatoire de la géométrie des fibres de Springer de type A

A combinatorial Study of the Geometry of Springer Fibers in Type A

• Auteur / Autrice : Lucas Fresse
• Direction : Olivier Mathieu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Lyon 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés de drapeaux (géométrie)

Représentations d'algèbres

Théorie des groupes

Variétés algébriques

Résumé

On appelle fibre de Springer la variété des drapeaux stables par un endomorphisme nilpotent. Nous étudions cette variété et ses composantes irréductibles. Les points fixes d’un tore sur cette variété sont paramétrés par un ensemble de tableaux dits lignes-standards. Nous construisons une décomposition en cellules de la variété naturellement paramétrée par les tableaux lignes-standards, au sens où chaque cellule contient un point fixe, et dont la codimension des cellules est analogue une longueur de Bruhat. Cela permet un calcul pratique des nombres de Betti. Lorsque l’endomorphisme nilpotent est de type crochet, deux-lignes ou deux-colonnes, nous définissons une notion de constructibilité pour les tableaux lignes-standards qui permet de décrire les points fixes des composantes. Nous déduisons un calcul de la dimension d’une intersection finie de composantes et, dans le cas deux colonnes, un critère de singularité

The variety of flags which are stable by a nilpotent endomorphism is called Springer fiber. We study this variety and its irreducible components. The fixed points of a torus on this variety are parameterized by a set of tableaux said row-standard. We construct a cell decomposition of the variety which is naturally parameterized by the row-standard tableaux, since each cell contains one fixed point, and such that the codimension of cells is analogous to a Bruhat length. This allows a handy calculation of the Betti numbers. When the nilpotent endomorphism is of hook, two-rows or two-columns type, we define a notion of constructibility for the row-standard tableaux which allows to describe the fixed points of the components. We deduce a calculation of the dimension of a finite intersection of components and, in the two-columns case, a criterion of singularity