Sur les composantes exotiques des espaces d'actions de groupes de surfaces sur le plan hyperbolique

On the exotic components of the spaces of actions of surface groups on the hyperbolic plane

• Auteur / Autrice : Maxime Wolff
• Direction : Louis Funar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes fuchsiens

Compactifications

Teichmüller, Espaces de

Mots clés libres

Arbres réels

Classe d'euler

Résumé

Let R,. Denote the space of representations of a surface group of genus g in PSL(2,R). By a theorem of W. Goldman, the space R,. Has 4g-3 connected components, indexed by the Euler class e:Rg-> Z, which satisties the Milnor-Wood inequality. The quotient space Rg/PSL(2,R) has the name number of connected components, two of which are identitied with the Teichmüller space of the surface. These two connected components i consist of ail the faithful and discrete representations. We tirst prove that the set of non-injective representations is dense in ail the other connected components, and that the set of representations wbich are discrete or elementary is closed and nowhere dense in these exotic components. Then we consider the Bestvina-Paulin compactification of the space Rg/PSL(2,R), which generalizes the Thurston compactification of Teichmüller spaces. We show that tbis compactification is very degenrated, and we show that it is much more natural to consider another compactitication, which takes into account the orientation of the plane.

Notons R, l'espace des représentations d'un groupe de surface de genre g dans PSL(2,R), Un théorème de W, Goldman affirme que l'espace Rg, possède 4g-3 composantes connexes, indexées par la classe d'Euler e:Rg-> Z, soumise à l'inegalité de Milnor-Wood, Il en va de même pour le quotient Rg/PSL(2,R), dans lequel les composantes de classes d'Euler extrêmes s'identifient à l'espace de Teichmüller de la surface, et sont constituées de toutes les représentations fidèles et discrètes, Dans un premier temps, nous montrons que l'ensemble des représentations non-injectives est dense dans les autres composantes connexes, et que les représentations d'image discrète, ou élémentaire, forment un fermé d'intérieur vide dans ces composantes exotiques, Nous considérons ensuite la compactification de Bestvina-Paulin de l'espace Rg/PSL(2,R), qui généralise la compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller, Nous montrons que cette compactification est très dégénérée, et qu'il est beaucoup plus naturel de considérer une compactification, raffinée, qui garde en mémoire l'orientation du plan,