Rayonnement acoustique dans un écoulement cisaille : une méthode d'éléments finis pour la simulation du régime harmonique

Acoustic radiation in a moving shear fluid : a finite element method for the frequency domain simulation

• Auteur / Autrice : Eve-Marie Duclairoir
• Direction : Anne-Sophie Bonnet-Ben Dhia, Jean-françois Mercier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique et mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Isabelle Terrasse, Mabrouk Ben Tahar
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Christophe Bailly, Serge Piperno

Mots clés

Mots clés contrôlés

Éléments finis, Méthode des

Acoustique moléculaire

Écoulement cisaillé

Résumé

Les travaux de cette thèse concernent le rayonnement acoustique d'une source périodique en temps placée dans un conduit infini, contenant un fluide en écoulement parallèle cisaillé. Le phénomène est modélisé à l'aide de l'équation de Galbrun, dont l'inconnue u est la perturbation de déplacement. L'objectif de cette étude est de développer une méthode éléments finis, susceptible d'être étendue à des géométries et des écoulements plus complexes. Cette thèse fait suite à celle de Guillaume Legendre qui a établi, dans le cas d'un écoulement uniforme, une formulation dite régularisée de l'équation de Galbrun afin de corriger un défaut d'ellipticité. Le but de ce manuscrit est d'étendre cette méthode à un écoulement non uniforme. La difficulté supplémentaire vient du fait que la vorticité ψ=rot u (qui intervient dans le terme de régularisation) ne peut plus être calculée a priori car le cisaillement induit un couplage entre acoustique et hydrodynamique. En régime dissipatif, nous avons explicité ψ en fonction de u à l'aide d'une convolution (le long des lignes de courant). Si l'écoulement est lent, cette formule de convolution (qui devient une intégrale très oscillante) peut être approchée par une formule différentielle beaucoup plus simple dont l'utilisation conduit à un modèle ''faible Mach''. Des idées similaires ont ensuite été utilisées pour résoudre le problème non dissipatif, à l'aide de couches PML. Les deux approches (exacte et ''faible Mach'') ont été validées par des tests numériques en 2D et 3D.

In this work, the time-harmonic acoustic radiation of a source in an infinite duct, filled with a parallel shear flow, is considered. The phenomenon is modelled by the Galbrun equation whose unknown is the displacement perturbation u. The aim of this study is to compute a finite element method which could be extended to more complex geometries and flows. A previous PhD work achieved by Guillaume Legendre dealt with this problem in the case of a uniform flow, by writing a ”regularized” formulation of the Galbrun equation in order to overcome a lack of ellipticity. This work aims to extend this method to non uniform flows. The additional difficulty comes from the fact that the vorticity ψ = rot u (which is involved in regularization) can not be calculated a priori anymore because the shear effect produces an interaction between acoustics and hydrodynamics. In a dissipative regime, we get the relation between ψ and u thanks to a convolution (along the streamlines). For the slow flows, this relation (which corresponds to a very oscillating integral) can be approximated by a simpler differential term. The use of the approximation leads to a new model called ”low Mach”. A similar approach is applied in order to solve the non dissipative problem by the means of PML (Perfectly Matched Layers). The two approaches (exact and ”low Mach”) have been validated by 2D and 3D numerical simulations.