Thèse soutenue

Problèmes de décision et d'évaluation en complexité algébrique
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Auteur / Autrice : Sylvain Perifel
Direction : Pascal Koiran
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance en 2007
Etablissement(s) : École normale supérieure (Lyon ; 1987-2009)

Mots clés

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Résumé

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Dans cette thèse, on s'intéresse essentiellement à des questions concernant les classes de complexité algébrique de problèmes de décision et de problèmes d'évaluation. Plus précisément, nous étudions d'une part, le modèle de Blum, Shub et Smale (BSS) pour reconnaître des langages sur une structure quelconque grâce à des circuits algébriques, et d'autre part, le modèle de Valiant pour calculer des polynômes grâce à des circuits arithmétiques. Nos résultats montrent qu'afin de séparer des classes de complexité, il est moins difficile de travailler sur les problèmes d'évaluation, c'est-à-dire dans le modèle de Valiant. Cela confirme notre intuition que, le modèle étant plus simple (il n'y a pas de portes de tests), les résultats doivent être plus simples à obtenir. En particulier, nous montrons deux résultats de transfert. Le premier concerne les versions algébriques de P et NP : sur un corps de caractéristique nulle, séparer P et NP dans le modèle BSS grâce à des problèmes NP "sans multiplication" implique de séparer P et NP dans le modèle de Valiant. Le second concerne la question "P=PSPACE ?" : après avoir défini un analogue de PSPACE dans les deux modèles algébriques, nous montrons que séparer P de PSPACE, sur les réels ou sur les complexes, est moins difficile dans le modèle de Valiant. Par ailleurs, et plus brièvement, nous étudions également la manipulation par machines de Turing de polynômes donnés par des circuits arithmétiques. En effet, encoder des polynômes de cette façon peut être bien plus court que la liste de tous les monômes. Mais l'étude de deux exemples (calculer le coefficient d'un monôme et calculer le degré d'un polynôme) montre qu'il semble difficile de manipuler des polynômes donnés de cette façon, même lorsqu'ils sont de degré polynomial et que l'on travaille sur un corps de caractéristique non nulle.