Quelques aspects de modélisation et d'analyse des systèmes issus des écoulements diphasiques

On some issues of the modeling and analysis of two phase flow systems

• Auteur / Autrice : Michaël Ndjinga
• Direction : Florian de Vuyst
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées aux systèmes
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Châtenay-Malabry, Ecole centrale de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques et informatique pour la complexité et les systèmes (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 2006-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Écoulement diphasique

Volumes finis, Méthodes de

Mots clés libres

Hyperbolicité

Schéma de Roe

Pression interfaciale

Résumé

Les modèles bifluides et multichamps sont couramment employés pour la modélisation et la simulation numérique des écoulements diphasiques. Ces modèles présentent cependant de nombreuses difficultés mathématiques et numériques, comme par exemple leur défaut d'hyperbolicité, ou leur structure propre non triviale. Il est important, avant toute démarche de simulation numérique de comprendre le caractère bien posé de tels modèles d'évolution éventuellement non hyperboliques. Nous étudions donc dans un premier temps les propriétés des systèmes d'équations aux dérivées partielles du premier ordre présentant des valeurs propres complexes. Nous étudions ensuite l'hyperbolicité du modèle bifluide à six équations en présence du terme de pression interfaciale et des forces de masse virtuelle et de lift. L'étude du polynôme caractéristique conduit à l'établissement d'un diagramme décrivant la localisation et la topologie des régions non hyperboliques. Enfin, nous proposons diverses fermetures algébriques de la pression interfaciale assurant l'hyperbolicité des modèles bifluides à six équations et multichamps. Afin de résoudre numériquement les systèmes d'équations des modèles bifluides et multichamps par une approche volumes finis de type Roe, nous présentons deux nouveaux algorithmes conçus pour un calcul efficace de la fonction valeur absolue matricielle. Ces algorithmes sont robustes car ils évitent le calcul des vecteurs propres de la matrice argument. Le premier est basé sur une approche itérative et converge en un nombre fini d'itérations si les valeurs propres de la matrice argument sont réelles. La seconde approche basée sur la résolution d'un problème d'interpolation fournit l'algorithme le plus rapide, et de plus permet de traiter le cas des valeurs propres complexes. Grâce à ces nouveaux algorithmes, il est possible de résoudre efficacement le modèle bifluide à six équations en présence de forces à termes différentiels ou le modèle multichamps avec un nombre de champs quelconque. Nous présentons alors de nouveaux résultats de simulation numérique des modèles bifluides à six équations et multichamps en présence de forces à termes différentiels.

Two-fluid and multifield models are commonly used in the modeling and numerical simulation of two phase flows. They however present several mathematical and numerical difficulties, such as their lack of hyperbolicity or their non trivial eigenstructure. It is important to understand the well-posedness of such possibly non hyperbolic systems before solving them numerically. For this reason, we study the solutions of systems of first order partial differential equations having a possibly complex eigenstructure. We then characterise the hyperbolicity of the six equations two-fluid model with interfacial forces having differential expressions such as the interfacial pressure term, virtual mass and lift forces. The study of the characteristic polynomial leads to a diagram representing the location and topology of the non hyperbolic regions. We eventually propose numerous closure laws that make the two-fluid and multifield models unconditionally hyperbolic. In order to numerically solve the two-fluid and multifield models equations in a finite volume approach using a Roe type scheme, we propose two new algorithms designed for an efficient computation of the matrix absolute value function. These algorithms are robust as they avoid the computation of the eigenvectors of the argument matrix. The first is based on an iterative approach and converges in a finite number of steps if the eigenvalues are real. The second is faster, and besides can handle the case of complex eigenvalues. Thanks to these new algorithms, it is now possible to solve efficiently the six equations two-fluid model with differential interfacial terms, or the multifield model with an arbitrary number of fields. We finally show the results of some recent numerical simulations of the six equations two-fluid model and the multifield model with interfacial forces having a differential expression.