Normalization properties of symmetric logical calculi

• Auteur / Autrice : Péter Battyanyi
• Direction : René David, Pál Dömösi, Karim Nour
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique et mathématiques
• Date : Soutenance en 2007
• Etablissement(s) : Chambéry

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lambda-calcul

Résumé

Dans cette thèse quelques-uns des calculs ont été étudiés qui peuvent être mis en rapport avec la logique classique à l'aide de l'isomorphisme de Curry-Howard. On étudie tout d'abord le λμ-calcul simplement typé de Parigot. Parigot a prouvé que son calcul est fortement normalisable. Ensuite, David et Nour ont donné une preuve arithmétique de la normalisation forte du λμμ'-calcul. Cependant, si l'on ajoute au λμμ'-calcul la règle ρ de simplification, la normalisation forte est perdue. On montre que le μμ'ρ-calcul non-typé est faiblement normalisable et que le λμμ'ρ-calcul typé est aussi faiblement normalisable. On établit ensuite une borne de la longueur des séquences de réductions en λμρθ-calcul simplement typé. Ce résultat est une extension de celui de Xi pour le λ-calcul simplement typé. Dans le chapitre suivant on présente une preuve arithmétique de la normalisation forte du λ-calcul symétrique de Berardi et Barbanera. Enfin, on établit des traductions entre le λ-calcul symétrique de Berardi et Barbanera et le λμ*-calcul, qui est le calcul de Curien et Herbelin étendu avec une négation, de telle manière que la normalisation forte d'un de ces calculs implique celle de l'autre.

This thesis examines, from proof theoretical point of view, some of the calculi which can be related to classical logic by the Curry-Howard isomorphism. First of all, we study the simply typed λμ-calculus defined by Parigot. Parigot proved that the λμ-calculus is strongly normalizing. David and Nour showed that the strong normalization is preserved for the λμμ'-calculus also. This is no more true if we add the ρ-rule to the λμμ'-calculus. However, the weak normalization still holds. We prove that the untyped μμ'ρ calculus as well as the typed λμμ'ρ-calculus are weakly normalizing. Next, a bound for the lengths of the reduction sequences in the simply typed λμρθ-calculus is established, extending a result of Xi stated for the simply typed λ-calculus. Then we give an arithmetical proof for the strong normalization of the simply typed symmetric λ-calculus defined by Berardi and Barbanera. Finally, we define a translation between the simply typed symmetric λ-calculus and an extension of the λμ*-calculus of Curien and Herbelin in such a way that the strong normalization of one of the calculi implies that of the other one.